Un repdigit est un entier qui s’écrit avec un seul chiffre plusieurs fois répété, comme le fameux 666, le « chiffre de la Bête » de l’Apocalypse. Divers liens sont possibles avec d’autres ensembles de nombres tels que les carrés parfaits ou les nombres triangulaires, à qui des propriétés mystiques ont aussi été attribuées.

Le 4

Chez les carrés

Existe-t-il des repdigits qui sont aussi des carrés parfaits ? Pour les entiers à un seul chiffre, 0, 1, 4 et 9 répondent à la question. Avec deux chiffres, on n’en trouve aucun. Au-delà de 100, on observe que les carrés qui finissent par deux chiffres identiques finissent par 00 ou 44.
1. Démontrer qu’il n’existe aucun carré autre que 4 ne s’écrivant en base dix qu’avec des chiffres 4.

Chez les triangulaires

Les nombres triangulaires sont les entiers de la forme Tn=1+2+3+…+nT_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n . On n'en connaît que six qui s'écrivent avec un seul chiffre : T1=1T_1 = 1 , T2=3T_2 = 3 , T3=6T_3 = 6 , T10=55T_{10} = 55 , T11=66T_{11} = 66 et... T36=666T_{36} = 666 , le « chiffre de la Bête », à la réputation plutôt maléfique (voir Quand le diable s'invite. Fabrice Arnaud, Tangente 227, 2026).
Au passage, on notera quelques coïncidences numériques avec T8=36T_{8}=36 ; T36=666T_{36}=666 et T666=222111T_{666}=222111 .
Il n'existe aucun autre repdigit triangulaire. Une première démonstration en a été proposée en 1975 dans le Journal of Recreational Mathematics. Malheureusement, un argument faux s'y était glissé : les nombres se terminant par ...8889 ne sont jamais des carrés. Or 3332=110889333^{2} = 110889 , entre autres...
**2. Démontrer que le carré du nombre 33…33 dont l’écriture décimale est composée de nn chiffres 3 s’écrit 1…108…89, avec n−1n−1 chiffres 1 et n−1n−1 chiffres 8.**
D’autres démonstrations ont été proposées, mais ce n’est qu’en 2025 qu’une preuve élémentaire a été trouvée, par le mathéma-ticien allemand Christian Hercher.

S'il existait un repdigit triangulaire R>666R > 666, alors celui-ci s'écrirait: R=n(n+1)/2=a(10k−1)/9R = n(n + 1)/2 = a(10^{k} - 1)/9, avec k>3k > 3et aaun entier entre 1 et 9. On en déduirait: 4n(n+1)=8a(10k−1)/94n(n + 1) = 8a(10^{k} - 1)/9et (2n+1)2=1+8a(10k−1)/9(2n + 1)^{2} = 1 + 8a(10^{k} - 1)/9.

Le nombre 1+8a(10k−1)/91 + 8a(10^{k} - 1)/9 devant être un carré d'entier, on peut exclure certaines valeurs de aa , à l'aide du tableau suivant.
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Le chiffre des unités d'un carré ne pouvant être qu'un des chiffres de l'ensemble {0;1;4;5;6;9}\{0;1;4;5;6;9\} , le tableau suggère (ce qu'on peut aussi démontrer en bonne et due forme) que a ne peut pas prendre les valeurs 2, 4, 7 et 9. Par ailleurs les carrés des multiples impairs de 5 se terminent obligatoirement par 25, ce qui permet aussi d'exclure les valeurs 3 et 8. Il reste donc trois possibilités : 1, 5 et 6. À l'aide des équations de Pell-Fermat, Hercher démontre alors que, dans chacun de ces cas, il n'existe pas d'autres solutions que celles appartenant à l'ensemble {1 ; 3 ; 6 ; 55 ; 66 ; 666}.
Le nombre 666 est donc sans conteste le roi des repdigits triangulaires, car le plus grand. Gageons que ce nombre réputé malin sait qu’il ne pourra jamais être détrôné.

Référence

• Triangular Numbers With a Single Repeated Digit, Christian Hercher, Journal of Integer Sequences 28, 2025.