ArithmétiqueNotion · Glossaire
Carissan Pierre et Eugène
Pierre et Eugène Carissan sont associés à une machine de calcul mécanique conçue vers 1920 pour accélérer la factorisation des entiers. Eugène Carissan (1880-1925) était officier et Pierre Carissan professeur de mathématiques. Son principe est celui de Fermat : n = a² - b² = (a-b)(a+b), en repérant des couples de carrés dont la différence vaut le nombre étudié. Les informations biographiques disponibles ne précisent pas davantage leurs parcours ni la répartition des rôles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Présenter Pierre et Eugène avant leur machine.
- Refaire 45 = 7² − 2² = 5 × 9.
- Expliquer le filtrage par congruences et résidus quadratiques.
- Distinguer candidats mécaniques, factorisation vérifiée et faits biographiques établis.
En clair
Pierre Carissan, professeur de mathématiques, et Eugène Carissan (1880-1925), officier, sont associés à une même invention de calcul mécanique conçue vers 1920. Leur machine cherchait à accélérer une tâche difficile : trouver les facteurs d'un entier.
L'idée est de regarder un nombre comme l'écart entre deux carrés. Pour 45, on peut écrire 45 = 7² − 2², car 49 − 4 = 45. La différence de deux carrés se transforme alors en produit : 45 = (7 − 2)(7 + 2) = 5 × 9. La machine des Carissan aidait à repérer de tels couples ; elle ne remplaçait pas la vérification mathématique.
Définition
La contribution commune de Pierre et Eugène Carissan est une machine mécanique de factorisation des entiers, conçue vers 1920. Elle met en œuvre la méthode de Fermat, fondée sur une différence de deux carrés. Pour un entier n, chercher des entiers a et b tels que n = a² − b² revient à chercher une écriture n = (a − b)(a + b).
Le dispositif explore des candidats à l'aide de mécanismes liés aux congruences et aux résidus quadratiques, c'est-à-dire aux restes produits par des carrés dans une division. La notice historique de référence associe à la machine quatorze couronnes dentées. Cette indication décrit son architecture rapportée ; le résultat fourni par l'instrument doit encore être testé pour écarter les candidats impossibles ou non pertinents.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'entier n = 45. On cherche un carré immédiatement supérieur à 45 : 7² = 49. La différence 49 − 45 vaut 4, qui est le carré de 2. On obtient donc 45 = 7² − 2².
La différence de deux carrés donne directement les facteurs : 7² − 2² = (7 − 2)(7 + 2). Ainsi, 45 = 5 × 9. Une machine fondée sur cette méthode peut aider à trouver le couple (7, 2), mais le calcul final reste nécessaire pour confirmer que les deux facteurs conviennent.
Cet exemple montre le rôle de la machine : repérer un couple de carrés, puis laisser la vérification confirmer les facteurs.
En pratique
Pour examiner un entier avec cette méthode, on choisit un carré supérieur ou égal au nombre, puis on teste si la différence est elle-même un carré. Lorsque la différence vaut b², les deux facteurs candidats sont a − b et a + b.
La procédure comporte aussi des essais à rejeter. Pour 45, le choix a = 6 est hors de la procédure annoncée, car 6² est inférieur à 45 ; il donne 6² − 45 = −9, qui n'est pas un carré. Pour un nombre plus grand, les essais conformes peuvent devenir nombreux : c'est précisément là qu'un mécanisme spécialisé peut accélérer le repérage des candidats.
À ne pas confondre
La machine de Pierre et Eugène Carissan ne se confond pas avec une machine qui effectuerait automatiquement toute factorisation. Elle fournit des pistes fondées sur des couples de carrés ; chaque piste doit être vérifiée par une multiplication et par la divisibilité de l'entier étudié.
Il ne faut pas non plus confondre la différence de deux carrés avec une différence ordinaire de deux nombres. L'identité utile est a² − b² = (a − b)(a + b) : ce sont les carrés qui permettent de faire apparaître le produit des deux sommes et différences.
Limites et pièges
La méthode de Fermat est surtout intéressante lorsque les facteurs recherchés sont relativement proches, car les carrés a² et b² sont alors plus faciles à rapprocher. Elle n'est donc pas une procédure uniformément rapide pour tous les entiers.
Une différence de deux carrés ne fournit pas nécessairement une factorisation utile. Si b = 0, l'écriture n = a² − 0² donne n = a × a et n'est pas une décomposition non triviale. Si la différence n'est pas un carré parfait, le couple essayé doit être rejeté. Enfin, les congruences éliminent des candidats, mais un reste compatible ne prouve pas à lui seul qu'un facteur existe.
Les informations biographiques disponibles ici sont limitées à l'association des deux Carissan à la machine, à la fonction d'officier d'Eugène et à celle de professeur de mathématiques de Pierre. Il serait imprudent d'en déduire d'autres épisodes de leur vie ou une répartition précise des tâches.
Pour aller plus loin
La méthode de Fermat part de l'identité n = a² − b² et ramène la recherche de facteurs à celle d'un carré proche de n. Les congruences et les résidus quadratiques peuvent réduire le nombre d'essais : modulo 4, un carré ne laisse par exemple que le reste 0 ou 1, si bien qu'un reste 2 ou 3 élimine un candidat. Un reste 1 reste compatible, mais ne prouve pas à lui seul qu'un facteur existe.
La machine associée aux Carissan appartient ainsi à l'histoire des calculateurs mécaniques spécialisés. Elle illustre une idée durable de l'informatique : traduire une méthode arithmétique en opérations matérielles ciblées, tout en conservant un contrôle humain du résultat.
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