collection d'objets

Sur une table, cinq jetons rouges peuvent être rapprochés et considérés ensemble. Les jetons sont les objets visibles. La collection est le tout que l'on forme mentalement en décidant de les regrouper.

On peut alors compter ses objets, la comparer à une autre collection ou chercher exactement cinq autres jetons. Changer leur couleur ou les espacer ne change pas leur nombre. Le matériel aide à voir la situation, mais il représente une idée qui n'est pas elle-même matérielle.

Une collection d'objets est un regroupement d'éléments que l'on perçoit ou que l'on conçoit comme un tout. En mathématiques et en didactique, « collection » est un terme primitif : il sert de point de départ au discours au lieu d'être défini à partir de notions plus simples. Dire qu'une collection est un « ensemble d'objets » ne constitue donc pas une définition non circulaire si les mots « ensemble » et « objet » restent eux-mêmes à définir.

Pour une collection finie, son cardinal est le nombre d'objets qu'elle contient. À l'école maternelle, trois actions donnent à cette notion un rôle fondateur dans l'apprentissage du nombre : dénombrer une collection, comparer les cardinaux de deux collections et constituer une collection d'un cardinal demandé. La collection est l'objet conceptuel sur lequel portent ces actions. Les jetons, dessins ou gestes employés en classe n'en sont que des manifestations concrètes. Une même collection peut ainsi être représentée par des objets déplacés ou autrement disposés, dès lors que les objets pris en compte restent les mêmes.

Une boîte contient une collection A de cinq jetons rouges. On dispose aussi d'une réserve contenant au moins cinq jetons jaunes et l'on veut constituer une collection B de même cardinal. Les données sont donc la collection A, ses cinq objets et la réserve dans laquelle prélever les objets de B.

1. Prélever un jeton jaune et l'associer à un jeton rouge.
2. Recommencer avec chaque jeton rouge qui n'a pas encore de partenaire.
3. S'arrêter lorsque tout jeton rouge est associé à un seul jeton jaune et qu'aucun jeton jaune prélevé ne reste isolé.

L'appariement un à un rend la comparaison vérifiable : les deux collections ont cinq objets. La collection B a donc le cardinal demandé, 5. Le contrôle consiste à refaire les cinq paires ; un objet sans partenaire signalerait que les deux cardinaux diffèrent.

Pour dénombrer la collection A, l'élève touche ou déplace chaque jeton une seule fois en récitant la suite des nombres. Si les objets sont très dispersés, les aligner réduit le risque d'en oublier ou d'en compter un deux fois.

Pour comparer A et B sans les compter, l'élève forme des paires composées d'un jeton de chaque collection. Si aucune pièce ne reste seule, les deux collections ont le même cardinal ; sinon, celle qui conserve des objets est la plus nombreuse.

Pour constituer une collection de cardinal 5, l'élève prélève cinq objets dans une réserve qui en contient au moins cinq, puis contrôle le résultat. Un appariement avec les cinq jetons rouges convient lorsque la récitation des nombres n'est pas encore sûre.

Collection et cardinal. La collection est le regroupement considéré ; le cardinal est le nombre de ses objets lorsqu'elle est finie. Les cinq jetons rouges forment une collection, tandis que 5 est son cardinal.

Collection et manifestation matérielle. Déplacer les cinq jetons change la disposition visible, pas le regroupement conceptuel si les mêmes jetons restent pris en compte. Ajouter ou retirer un jeton modifie au contraire la collection considérée et son cardinal.

La fausse définition. Remplacer « collection » par « ensemble », « groupement » ou « objets réunis » peut éclairer l'intuition, mais ne définit pas le terme à partir de notions déjà établies. Il faut présenter « collection » comme un terme primitif et annoncer l'usage qui en est fait.

Un contour matériel trompeur. Une boîte ou un cercle tracé autour de jetons aide à montrer le regroupement, sans devenir la collection elle-même. Le bon contrôle consiste à préciser quels objets sont pris en compte, même si leur support ou leur disposition change.

Le comptage sans suivi. Réciter jusqu'à 5 ne garantit pas que la collection possède cinq objets : un jeton peut avoir été oublié ou compté deux fois. Toucher, déplacer ou apparier chaque objet assure une correspondance unique entre les objets et les mots-nombres.

Le glossaire dénombrement prolonge la fiche par les procédés qui permettent d'établir le nombre d'objets d'une collection.

L'Ensemble vide permet d'examiner le cas où aucun objet n'est présent et la manière dont le cardinal zéro intervient.