formule des classes

Prenons un carré et suivons l’un de ses sommets pendant les huit symétries du carré. Ce sommet peut arriver à quatre places : ces quatre positions forment son orbite. Certaines symétries le laissent pourtant à sa place : elles forment son stabilisateur.

La formule orbite-stabilisateur relie ces trois comptages. Pour un sommet, les huit symétries se répartissent en quatre destinations, avec deux symétries par destination. On obtient donc quatre positions possibles en divisant huit par deux.

La formule orbite-stabilisateur est la relation entre l’orbite et le stabilisateur d’un élément sous l’action d’un groupe fini. Soit G un groupe fini qui agit sur un ensemble fini E, et soit x un élément de E. L’orbite de x, notée O_x, réunit les éléments de E que l’on peut obtenir sous la forme g·x lorsque g parcourt G. Le stabilisateur de x, noté St_x, réunit les éléments g de G tels que g·x = x.

L’application qui associe à g l’élément g·x donne la même image exactement lorsque deux éléments de G diffèrent par un élément de St_x. Les éléments de G se répartissent donc en classes de même taille, une classe par élément de l’orbite. Cette partition conduit à l’égalité $\mathrm{\mid }{O}_x\mathrm{\mid }=\frac{\mathrm{\mid }G\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{\mathrm{St}}_x\mathrm{\mid }}|O\_x|=\backslash frac\{|G|\}\{|\backslash operatorname\{St\}\_x|\}$.

Le stabilisateur étant un sous-groupe de G, son ordre divise celui de G par le théorème de Lagrange. La taille de l’orbite est ainsi un entier qui divise l’ordre du groupe. La formule sert notamment à compter des configurations distinctes sous des symétries.

Si un groupe fini G agit sur un ensemble fini E et si x appartient à E, alors la taille de l’orbite de x est le quotient de l’ordre de G par l’ordre du stabilisateur de x :

Ici, O_x désigne toutes les positions atteintes par x, tandis que St_x désigne les éléments de G qui fixent x. En particulier, la taille de chaque orbite divise l’ordre de G.

Dans le cadre de la fiche, il faut disposer d’un groupe fini G, d’un ensemble fini E et d’une action de G sur E. Il faut aussi choisir un élément x de E. Chaque élément du groupe doit agir sur E, l’élément neutre doit laisser tout élément en place et la composition dans le groupe doit correspondre à la succession des actions.

La formule fournit alors la taille de l’orbite dès que les ordres de G et de St_x sont connus. Si l’on ne dispose que d’une collection de transformations qui n’est pas fermée par composition, il n’y a pas d’action de groupe à laquelle appliquer directement la formule. Il faut d’abord considérer le groupe engendré par ces transformations, puis recalculer le stabilisateur dans ce groupe.

Considérons les huit symétries d’un carré, agissant sur ses quatre sommets A, B, C et D. Le groupe G contient quatre rotations et quatre réflexions. On suit le sommet A. La figure rend visibles ses quatre destinations et la diagonale de la réflexion qui le fixe.

1. L’orbite de A contient A, B, C et D, car des rotations du carré envoient A sur chacun de ces sommets.

2. Le stabilisateur de A contient exactement deux symétries : l’identité et la réflexion suivant la diagonale AC. Il a donc pour ordre 2.

3. La formule donne $\mathrm{\mid }{O}_A\mathrm{\mid }=\frac{8}{2}=4|O\_A|=\backslash frac\{8\}\{2\}=4$. On retrouve bien les quatre sommets annoncés.

Le contrôle peut être refait en regroupant les huit symétries selon l’image de A : chacune des quatre destinations est obtenue par deux symétries. Les quatre paquets de deux symétries comptent bien 8 éléments.

Pour compter les positions possibles d’un objet sous des symétries, on choisit une configuration, puis on détermine les transformations qui la laissent inchangée. La formule évite d’énumérer séparément toutes les images lorsque le stabilisateur est plus facile à compter.

Pour vérifier un résultat, on multiplie la taille annoncée de l’orbite par l’ordre du stabilisateur. Le produit doit retrouver l’ordre du groupe. Si ce n’est pas le cas, une transformation fixant l’objet ou une destination possible a probablement été oubliée.

Quand plusieurs éléments n’ont pas le même stabilisateur, on les traite orbite par orbite. Une seule division globale ne convient pas : le choix de l’élément suivi détermine le stabilisateur à utiliser.

La formule orbite-stabilisateur porte sur un élément x choisi : elle calcule la taille de son orbite à partir de son stabilisateur. L’équation des classes, dans le cas de l’action d’un groupe sur lui-même par conjugaison, additionne au contraire les tailles de plusieurs classes de conjugaison pour retrouver l’ordre du groupe. Dans le carré, suivre le seul sommet A relève de la première relation.

L’orbite est un ensemble de positions atteintes dans E ; le stabilisateur est un sous-groupe de transformations dans G. Pour le sommet A du carré, l’orbite a quatre sommets, tandis que le stabilisateur a deux symétries : leurs éléments ne sont pas de même nature.

Un élément fixé par tout le groupe a pour stabilisateur le groupe entier et une orbite réduite à un seul élément. À l’autre extrême, un stabilisateur réduit à l’identité donne une orbite dont la taille égale l’ordre du groupe. Ces deux cas satisfont la même formule ; une petite orbite signale donc un grand stabilisateur, et inversement.

La taille du stabilisateur dépend de l’élément choisi. Dans une même action, remplacer x par un élément d’une autre orbite peut changer cette taille. Il faut recalculer St_x au lieu de réutiliser automatiquement le premier quotient.

Avec des ensembles ou des groupes infinis, le quotient numérique des ordres n’est plus la formulation adaptée. La relation structurelle s’exprime alors par l’indice du stabilisateur dans le groupe. Employer directement une division de deux cardinalités infinies masquerait l’information recherchée.

L’Action de groupe précise les règles qui rendent cohérente l’application des transformations aux éléments d’un ensemble.

Le Stabilisateur approfondit le sous-groupe des transformations qui laissent l’élément choisi inchangé.

Le groupe de symétrie prolonge l’exemple du carré en organisant les transformations qui préservent une figure.