piles de Gergonne

Imaginez 27 cartes posées en trois tas de neuf. Une personne pense à une carte sans la montrer, puis indique seulement le tas où elle se trouve. Après chaque distribution, le tas indiqué est placé au milieu, en dessous, puis au milieu des deux autres. La carte se resserre alors vers une position déterminée, même si son identité reste secrète : après le troisième réassemblage, elle occupe la dix-septième place depuis le dessus. Le tour paraît magique, mais son résultat vient du comptage régulier des cartes.

Les piles de Gergonne sont un tour de cartes gouverné par une règle de positionnement. Le jeu classique contient 27 cartes distinctes, réparties en trois paquets de neuf. Le spectateur choisit mentalement une carte et, lors de trois distributions, indique le paquet qui la contient. À chaque distribution, les cartes sont données une à une depuis le dessus, à tour de rôle dans les trois paquets. Pour fixer l'orientation, on lit chaque paquet du dessus vers le dessous dans l'ordre où ses cartes ont été distribuées, et les deux paquets non indiqués conservent leur ordre de gauche à droite lors de la collecte. Après chaque distribution, le paquet indiqué est placé successivement au milieu, en dessous, puis au milieu des deux autres.

La carte n'est pas retrouvée par une information sur sa face, mais par l'évolution de sa position dans le paquet. Avec la convention d'orientation et de collecte retenue ici, une carte initialement en première position passe en positions 10, puis 22, puis 17 lorsque le paquet indiqué est placé au milieu, en dessous, puis au milieu. Après trois réassemblages, toute carte se retrouve ainsi en dix-septième position depuis le dessus. Le résultat dépend donc du nombre de cartes, du nombre de paquets, de l'orientation des paquets et de l'ordre de réassemblage ; changer l'une de ces conventions change le calcul. Gergonne étend le principe à un jeu de m² cartes distinctes distribuées une à une, à tour de rôle, en m paquets, avec un paquet central unique — donc pour m impair — et une convention complète d'orientation et de réassemblage définie. Cette écriture signifie que m représente le nombre de paquets et que le jeu contient le carré de ce nombre de cartes.

Prenons le cas classique avec un jeu de 27 cartes distinctes. La carte choisie reste connue du spectateur seul ; son rang initial n'a pas besoin d'être annoncé. Les données du tour sont les suivantes : 27 cartes, 3 paquets, 9 cartes par paquet, une distribution une à une depuis le dessus, à tour de rôle dans les trois paquets, l'ordre de chaque paquet lu du dessus vers le dessous dans l'ordre de distribution, les deux paquets non indiqués conservant leur ordre de gauche à droite, 3 indications du spectateur et la position finale démontrée de 17.

À chaque étape, distribuez les cartes une à une depuis le dessus, à tour de rôle dans les trois paquets, en conservant dans chacun l'ordre du dessus vers le dessous correspondant à l'ordre de distribution. Faites indiquer le paquet contenant la carte, puis replacez successivement ce paquet au milieu, en dessous, puis au milieu des deux autres, sans inverser l'ordre des deux paquets non indiqués.

Le suivi des rangs rend le calcul refaisable pour n'importe quelle carte. Si son rang avant une distribution est r, son rang dans le paquet indiqué vaut q = ⌊(r − 1)/3⌋ + 1 : c'est le rang obtenu en comptant les cartes distribuées à tour de rôle. Quand le paquet indiqué est placé en position k parmi les trois paquets, son nouveau rang vaut (k − 1) × 9 + q. On applique donc cette règle avec k = 2, puis k = 3, puis k = 2. Ainsi, tout rang initial de 1 à 27 devient d'abord un rang de 10 à 18, puis un rang de 22 à 24 ; à la troisième distribution, q vaut 8 et le nouveau rang vaut (2 − 1) × 9 + 8 = 17. Pour contrôler le cas illustré, une carte initialement en première position passe en positions 10, puis 22, puis 17 ; une carte initialement en deuxième position passe en positions 10, puis 22, puis 17. Il suffit alors de compter depuis le dessus jusqu'à la dix-septième carte, sans utiliser l'identité des cartes ni une information supplémentaire du spectateur.

Dans une démonstration, le spectateur pense à une carte et répond uniquement aux trois questions portant sur le paquet qui la contient. L'opérateur doit conserver l'ordre de distribution du dessus vers le dessous dans chaque paquet, l'ordre de gauche à droite des deux paquets non indiqués, et l'ordre de réassemblage prévu : milieu, dessous, milieu.

Pour vérifier le mécanisme, on peut remplacer les figures par 27 cartes numérotées. Le comptage rend alors la position finale observable, tandis que des cartes non numérotées préservent l'effet de devinette.

Si l'objectif est d'expliquer plutôt que de présenter le tour, un tableau de suivi des positions est préférable à une révélation immédiate : il montre que le résultat vient de l'arithmétique des paquets.

Les piles de Gergonne ne se confondent pas avec un tour de cartes fondé sur un marquage, une préparation secrète ou la lecture de la carte choisie. Le critère est testable : dans le tour décrit ici, l'information fournie par le spectateur est seulement le paquet contenant la carte, et le résultat dépend du réassemblage des paquets.

Elles ne désignent pas non plus n'importe quelle distribution en trois paquets. Une distribution ne relève de ce principe que si les cartes sont données une à une à tour de rôle depuis le dessus, et si le nombre de cartes, le nombre de paquets et la convention de réassemblage correspondent au protocole étudié. Avec 27 cartes, la séquence de placement est milieu, dessous, milieu.

Le résultat « dix-septième position » est attaché au cas classique de 27 cartes réparties en trois paquets de neuf, à l'orientation des paquets et à trois réassemblages précis. Si le nombre de cartes, de paquets, l'orientation ou la convention de distribution change, cette position n'est plus une conclusion automatique : il faut appliquer la généralisation de Gergonne au nouveau protocole.

Le protocole est également sensible à l'ordre des paquets. Placer le paquet indiqué au milieu, en dessous ou au milieu ne produit pas la même transformation de position. Sous la convention retenue ici, la position attendue après les trois réassemblages est la dix-septième ; il faut alors reprendre ces réassemblages dans leur ordre exact, sans inverser l'orientation des paquets ni intervertir les deux paquets non indiqués.

La généralisation porte sur un jeu de m² cartes distinctes distribuées une à une, à tour de rôle depuis le dessus, en m paquets, avec une convention définie pour l'orientation des paquets, la collecte des paquets non indiqués et le réassemblage ; pour un paquet central unique, m est impair. Elle ne s'applique donc pas telle quelle à un jeu dont le nombre de cartes n'est pas le carré du nombre de paquets retenu, ni à un nombre pair de paquets si aucun choix du paquet central n'est défini. Dans ces cas, une autre analyse de la distribution est nécessaire.

Pour voir comment plusieurs tours de cartes mettent en scène des idées mathématiques, consultez Quatre tours de mathémagie. Ce prolongement permet de comparer le principe arithmétique des piles de Gergonne avec d'autres mécanismes de tours, sans les confondre avec lui.