Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
problème des chapeaux
Les problèmes des chapeaux désignent deux familles de problèmes de probabilité et de stratégie combinatoire. Dans la première, une redistribution équiprobable attribue un chapeau à chaque joueur, et l'on cherche la probabilité que personne ne récupère le sien. Dans la seconde, chaque joueur reçoit une couleur parmi un ensemble fini, ignore la sienne, voit tout ou partie des autres et doit, selon une stratégie convenue à l'avance et sans communiquer pendant la partie, maximiser le nombre de couleurs correctement annoncées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le problème des rencontres des variantes stratégiques à chapeaux colorés.
- Vérifier sur quatre personnes les 9 dérangements parmi 24 permutations.
- Reconnaître les règles qui doivent être précisées avant tout calcul ou choix de stratégie.
En clair
Quatre personnes déposent leur chapeau, puis chacune en reprend un au hasard. Même si personne ne vise son propre chapeau, certains peuvent le récupérer par hasard. Le premier problème demande la chance que cela n'arrive à personne.
Dans l'autre grande version, chacun porte une couleur qu'il ne voit pas. Les joueurs observent les autres chapeaux et conviennent d'une stratégie avant la partie. Leur défi n'est plus de compter des redistributions, mais d'exploiter ensemble l'information visible.
Définition
Le problème des chapeaux désigne une famille de questions combinatoires, et non un énoncé unique. Dans la version du problème des rencontres, aussi appelée problème de Montmort, un nombre donné de personnes reprend au hasard autant de chapeaux distincts. Chaque redistribution est une permutation. Une redistribution où personne ne reçoit son propre chapeau est appelée un dérangement.
Si le nombre de personnes est noté n, toutes les permutations sont supposées équiprobables. La question est alors la probabilité d'une permutation sans point fixe, c'est-à-dire sans personne associée à son chapeau initial. Lorsque n augmente, cette probabilité tend vers . Cette valeur est une limite, pas la probabilité exacte pour chaque taille finie.
Dans la version stratégique, les chapeaux prennent leurs couleurs dans un ensemble fini. Chaque joueur ignore sa propre couleur, voit tous les autres chapeaux ou seulement certains d'entre eux, puis annonce une couleur selon une stratégie décidée collectivement avant la partie. Aucune communication n'a lieu pendant le jeu. Le résultat recherché dépend du nombre de joueurs et de couleurs, des relations de visibilité et des règles d'annonce ; il n'existe donc pas une stratégie universelle indépendante de l'énoncé.
Un exemple, pas à pas
Quatre personnes, nommées A, B, C et D, reprennent au hasard leurs quatre chapeaux distincts. Les données sont : 4 personnes, 4 chapeaux, une attribution par personne et des redistributions équiprobables.
1. Le nombre total de redistributions est 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
2. Notons D4 le nombre de dérangements. Le principe d'inclusion-exclusion retranche les attributions qui fixent au moins une personne, puis corrige les doubles retraits. Par convention, 0! vaut 1.
3. La figure décrit l'une de ces neuf possibilités : le chapeau de A va à B, celui de B à C, celui de C à D et celui de D à A. Chaque flèche relie le propriétaire initial au destinataire.
4. Le nombre de cas favorables est divisé par le nombre total de cas :
La probabilité exacte vaut donc 3/8, soit 37,5 %. Pour contrôler le calcul, on peut écrire les 24 permutations et vérifier que 9 seulement ne laissent aucune lettre à sa place.
En pratique
Devant un énoncé de restitution, on repère d'abord si les chapeaux sont distincts et si toutes les redistributions sont équiprobables. Si oui, compter les dérangements répond directement à la question ; sinon, il faut tenir compte des probabilités propres au tirage.
Pour un petit nombre de personnes, l'énumération des permutations permet un contrôle complet. Avec quatre personnes, on confronte les 9 cas favorables aux 24 cas possibles. Pour un effectif plus grand, une méthode d'analyse combinatoire évite de dresser une liste devenue trop longue.
Devant des chapeaux colorés, le premier geste est différent : on consigne le nombre de couleurs, qui voit qui et ce que chaque joueur peut annoncer. Ces règles déterminent l'information disponible ; une stratégie conçue pour une visibilité totale ne s'applique pas automatiquement à une visibilité partielle.
À ne pas confondre
Une permutation quelconque peut comporter des points fixes ; un dérangement n'en comporte aucun. Dans l'exemple à quatre personnes, A recevant son propre chapeau suffit à exclure la redistribution des 9 cas favorables, même si B, C et D changent tous de chapeau.
Une suite de devinettes indépendantes n'est pas encore une stratégie collective. Le critère est l'existence d'une règle commune établie avant les annonces et fondée sur les chapeaux visibles. Sans cette coordination préalable, les réponses individuelles ne constituent pas la seconde famille du problème.
Limites et pièges
La limite 1/e ne doit pas être substituée à une valeur exacte pour un petit effectif. Avec une seule personne, la probabilité que personne ne retrouve son chapeau vaut 0 ; avec deux personnes, elle vaut 1/2 ; avec quatre, elle vaut 3/8. Il faut calculer le rapport exact avant d'utiliser l'approximation limite.
Le comptage par permutations équiprobables échoue si le mécanisme favorise certaines redistributions. Le symptôme est que deux attributions n'ont pas la même probabilité. Il faut alors pondérer chaque cas au lieu de diviser seulement un nombre de cas favorables par un nombre total.
Dans les variantes colorées, modifier une seule règle peut modifier la meilleure stratégie. Une visibilité partielle, un nombre de couleurs différent ou l'autorisation de passer change l'information et les réponses permises. Il faut donc fixer l'énoncé complet avant de comparer des performances.
Pour aller plus loin
Le glossaire Dérangement isole la structure combinatoire des redistributions sans point fixe et prolonge la première famille du problème.
La fiche analyse combinatoire présente le cadre de comptage utilisé pour organiser les permutations et vérifier les cas favorables.
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