Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
jeu du treize
Dans le jeu du treize, un joueur mélange 52 cartes, les retourne une à une et annonce cycliquement les rangs de l’as au roi ; il gagne dès que le rang retourné coïncide avec le rang annoncé, et perd si aucune rencontre ne survient. Le problème consiste à calculer cette probabilité d’absence de rencontre ; dans le modèle simplifié de 13 cartes de rangs tous distincts et d’ordres équiprobables, elle revient à compter les permutations sans point fixe, appelées dérangements.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer une rencontre entre le rang annoncé et la carte retournée.
- Calculer les 9 dérangements parmi les 24 ordres d'un exemple à quatre cartes.
- Relier la probabilité sans rencontre à la limite 1/e.
- Distinguer le modèle à rangs distincts du jeu complet de 52 cartes.
En clair
Imaginez que vous retourniez une carte en disant « as », puis une autre en disant « deux », et ainsi de suite jusqu'au roi. Chaque fois que le rang prononcé est celui de la carte visible, il y a une rencontre.
Le jeu du treize demande donc si un paquet mélangé peut être entièrement parcouru sans aucune coïncidence. Avec une seule carte de chaque rang, cela revient à chercher un ordre où aucune carte n'occupe sa place attendue : un dérangement.
Définition
Le jeu du treize est un problème de probabilités fondé sur un paquet mélangé. Le joueur retourne les 52 cartes en annonçant successivement les treize rangs, de l'as au roi, puis répète ce cycle quatre fois. Une rencontre se produit lorsque le rang retourné égale le rang annoncé à la même position. Le joueur gagne dès la première rencontre et perd si les 52 comparaisons sont toutes différentes.
Dans le modèle simplifié, on prend n cartes de rangs tous distincts et on annonce ces n rangs dans un ordre fixé. L'ordre des cartes est alors une permutation de n éléments. Une issue sans rencontre est un dérangement, c'est-à-dire une permutation sans point fixe. Si Dn désigne le nombre de dérangements, le principe d'inclusion-exclusion donne :
La probabilité Pn d'éviter toute rencontre se rapproche de 1/e, soit environ 36,8 %, lorsque n augmente. Le paquet réel n'est pas ce modèle distinct : chacun des treize rangs y apparaît quatre fois. Le jeu appartient à la famille classique du problème des rencontres, aussi appelé problème des chapeaux, et figure dans les travaux de Pierre Rémond de Montmort au début du XVIIIe siècle.
Un exemple, pas à pas
Prenons une version miniature avec quatre cartes distinctes : as, deux, trois et quatre. Les annonces suivent l'ordre as, deux, trois, quatre. Après mélange, les cartes apparaissent dans l'ordre deux, as, quatre, trois. Le schéma rend visibles les quatre comparaisons.
Données.
Nombre de cartes : 4.
Annonces : as, deux, trois, quatre.
Cartes retournées : deux, as, quatre, trois.
Tous les 4! ordres sont supposés équiprobables.
Nombre de cartes : 4.
Annonces : as, deux, trois, quatre.
Cartes retournées : deux, as, quatre, trois.
Tous les 4! ordres sont supposés équiprobables.
Étape 1. On compare chaque carte à l'annonce de sa position : deux diffère d'as, as diffère de deux, quatre diffère de trois et trois diffère de quatre. Cet ordre ne contient donc aucune rencontre.
Étape 2. Les quatre cartes possèdent 4! = 24 ordres possibles. Notons D4 le nombre d'ordres sans rencontre. L'inclusion-exclusion donne :
Étape 3. La probabilité d'éviter toute rencontre vaut donc 9/24 = 3/8 = 37,5 %.
Contrôle. La récurrence des dérangements donne D4 = 3(D3 + D2). Comme D2 = 1 et D3 = 2, on retrouve 3 × (2 + 1) = 9 ordres sans rencontre.
En pratique
Pour décider si une partie donnée contient une rencontre, on aligne les annonces et les cartes retournées, puis on compare chaque colonne. Une seule égalité suffit pour faire gagner le joueur ; il faut vérifier les 52 positions pour conclure à une perte.
Pour compter exactement les issues du modèle à rangs distincts, l'inclusion-exclusion convient mieux qu'une liste manuelle dès que le nombre de cartes augmente. Si n est le nombre de cartes et Dn le nombre de dérangements, la récurrence Dn = (n − 1)(Dn−1 + Dn−2) fournit une autre méthode.
Pour estimer le jeu complet par expérience, on peut mélanger réellement ou simuler de nombreux paquets, noter la présence d'au moins une rencontre et comparer la fréquence observée au calcul exact. Cette approche estime une probabilité ; elle ne remplace pas un dénombrement lorsque celui-ci est demandé.
À ne pas confondre
Jeu de 52 cartes et dérangement de treize objets. Le dérangement décrit exactement la version où les rangs sont tous distincts. Dans le paquet ordinaire, quatre cartes partagent chaque rang ; les 52 cartes ne forment donc pas une simple permutation de treize rangs distincts.
Rencontre et paire de cartes identiques. Ici, une rencontre compare une carte au rang prononcé au même instant. Elle ne demande pas que deux cartes du paquet soient identiques ni qu'elles apparaissent côte à côte.
Probabilité de perdre et probabilité de gagner. L'absence totale de rencontre fait perdre le joueur. La probabilité de gagner est son complément : une rencontre au moins doit se produire.
Limites et pièges
La valeur 1/e est une limite, pas la réponse exacte pour treize cartes. Dans le modèle distinct, si D13 désigne le nombre de dérangements de treize cartes, la probabilité exacte est D13/13!. Il faut conserver ce quotient pour un calcul exact et réserver 36,8 % à une approximation.
Le modèle simplifié ne calcule pas automatiquement le paquet complet. Avec 52 cartes, chaque annonce et chaque rang apparaissent quatre fois. Il faut dénombrer ce modèle avec ses répétitions au lieu de substituer directement D13/13!.
Une rencontre suffit. Dès la première égalité entre rang annoncé et rang retourné, l'événement « au moins une rencontre » est réalisé. Continuer à compter d'autres égalités change leur nombre, mais pas le verdict de la partie.
L'équiprobabilité dépend du mélange. Le quotient Dn/n! suppose que tous les ordres des n cartes distinctes ont la même probabilité. Si le mélange favorise certains ordres, il faut pondérer les issues selon leur probabilité réelle.
Pour aller plus loin
La fiche Dérangement développe le comptage des permutations sans point fixe et précise pourquoi leur proportion se rapproche de 1/e.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres