registre sémiotique

Imaginez la relation exprimée par la phrase « on double un nombre, puis on ajoute 1 ». En notant x le nombre choisi et y le résultat, elle peut aussi prendre la forme de la formule $y=2x+1y=2x+1$, d'un tableau ou d'une droite. L'objet mathématique ne change pas, mais sa représentation change.

Chacune de ces formes est une représentation particulière produite dans un registre sémiotique, c'est-à-dire un système de signes organisé. Passer de la formule au graphique peut révéler une évolution que les seuls symboles rendent moins visible ; revenir au calcul permet ensuite de vérifier une valeur précise.

En didactique des mathématiques, un registre sémiotique est une forme de représentation mobilisée pour travailler sur un objet mathématique. Les registres oral, gestuel, écrit, symbolique et graphique en sont des exemples. Une expression prononcée, une formule, un tableau et une courbe peuvent ainsi porter sur un même objet sans être des représentations identiques.

Pour la relation qui associe à un nombre son double augmenté de 1, la lettre x désigne le nombre choisi et la lettre y le résultat. Le registre symbolique l'écrit $y=2x+1y=2x+1$. Le registre écrit peut la décrire en mots, tandis que le registre graphique place les couples de valeurs sur une droite. Ces représentations diffèrent par leurs signes et par les opérations qu'elles rendent immédiatement visibles.

La notion, théorisée par Raymond Duval, met l'accent sur la capacité à passer d'un registre à un autre. Comprendre ne revient donc pas seulement à reconnaître une écriture familière : il faut aussi conserver le même objet quand sa forme de représentation change.

On étudie la relation « doubler le nombre choisi, puis ajouter 1 ». Les données sont le nombre choisi x, le résultat y et la règle $y=2x+1y=2x+1$. On prend successivement x égal à 0, 1 et 2.

1. Dans le registre écrit, la relation est donnée par une phrase.
2. Dans le registre symbolique, elle devient la formule annoncée.
3. Dans un tableau, les couples obtenus sont (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 5).
4. Dans le registre graphique, ces trois couples sont des points alignés sur la droite qui représente la relation.

Le passage d'un registre à l'autre conserve les mêmes correspondances. Pour contrôler le point (2 ; 5), on remplace x par 2 : deux fois 2 donne 4, puis l'ajout de 1 donne bien 5.

Pour résoudre un problème énoncé en mots, on peut choisir une écriture symbolique lorsque le calcul devient plus direct. Le critère est observable : les quantités et leur relation doivent pouvoir être traduites sans perdre leur sens.

Pour observer une évolution, un graphique peut être préférable à une suite de valeurs. Dans l'exemple, l'alignement des points rend la progression visible, tandis que la formule permet de contrôler exactement chaque résultat.

Lorsqu'une solution semble correcte dans un seul registre, la représenter autrement offre un contrôle. Si le nombre choisi x vaut 2, le calcul donne 5 ; le point (2 ; 5) doit alors apparaître sur le graphique.

Un objet mathématique n'est pas l'une de ses représentations. La relation « doubler puis ajouter 1 » demeure la même quand une phrase est remplacée par une formule ou un graphique ; seuls les signes employés changent.

La sémiotique désigne la discipline générale qui étudie les systèmes de signes, leur production et leur interprétation. Le registre sémiotique désigne ici une forme de représentation mobilisable pour travailler sur des objets mathématiques.

Deux écritures visuellement différentes ne signalent pas automatiquement deux registres différents. Dans la formule $y=2x+1y=2x+1$, la lettre x désigne le nombre choisi. La remplacer par 2 modifie les signes affichés, mais reste une opération dans l'écriture symbolique. Il faut examiner la forme de représentation employée, pas seulement l'apparence de la ligne.

Le passage entre registres peut perdre une partie de l'information si les conventions ne sont pas précisées. Trois points alignés ne suffisent pas, à eux seuls, à imposer la relation pour toutes les valeurs possibles. Dans l'exemple, la formule fournit la règle générale ; les trois points ne font que vérifier trois couples.

Une représentation correcte ne garantit pas à elle seule la compréhension. Réciter la formule sans pouvoir retrouver le couple (2 ; 5), l'exprimer en mots ou le placer sur le graphique révèle que la coordination entre les formes reste à construire.

Une piste d'approfondissement consiste à étudier ce que chaque registre rend facile à voir ou à effectuer. Dans l'exemple, la formule donne une règle générale, le tableau isole quelques correspondances et le graphique montre leur alignement.

On peut aussi tester la solidité d'une compréhension en imposant un trajet entre plusieurs représentations : partir d'une phrase, produire une formule, construire quelques couples, puis vérifier que leur graphique traduit toujours la même relation.