Ritt Joseph Fels

En 1910, à Washington D.C., Joseph Fels Ritt travaille à l'Observatoire naval tout en poursuivant ses études. Trois ans plus tard, il est diplômé de l'université George Washington, avant de préparer à Columbia une thèse sur des équations différentielles.

Son idée directrice sera de regarder certaines équations différentielles avec les outils de l'algèbre. Ce rapprochement aide à étudier des relations polynomiales entre une fonction et ses dérivées. Il pose ainsi les bases de l'algèbre différentielle.

Joseph Fels Ritt (1893–1951) est un mathématicien américain dont la carrière relève principalement de l'analyse. Il travaille sur les intégrales indéfinies, les équations différentielles ordinaires et les équations aux dérivées partielles. Son apport le plus caractéristique concerne la théorie différentielle de l'algèbre : il construit une théorie algébrique pour étudier des équations différentielles polynomiales. Ces travaux posent les bases du domaine aujourd'hui nommé algèbre différentielle.

Son parcours relie plusieurs institutions. Après ses études secondaires à New York, il travaille en 1910 à l'Observatoire naval de Washington D.C. tout en étudiant. Il obtient en 1913 son diplôme de l'université George Washington. À Columbia, il soutient ensuite, sous la direction d'Edward Kasner, une thèse consacrée à une classe générale d'équations différentielles linéaires homogènes, d'ordre infini et à coefficients constants. Après la Première Guerre mondiale, il y obtient un poste permanent et y accomplit l'essentiel de sa carrière.

Prenons la fonction f(x) = e^x. Sa dérivée vérifie f′(x) = e^x, donc f′(x) = f(x). On peut écrire cette égalité sous la forme f′ − f = 0 : c'est une relation polynomiale entre la fonction et sa dérivée. Ce passage d'une équation différentielle à une relation algébrique donne un aperçu concret du point de vue développé par Ritt.

Le calcul se refait en trois étapes : 1. dériver f(x) = e^x ; 2. constater que f′ = f ; 3. former le polynôme P(U, V) = V − U et remplacer U par f, V par f′. On obtient P(f, f′) = f′ − f = 0. L'approche algébrique consiste ici à étudier la relation polynomiale satisfaite par f et f′, plutôt qu'à considérer seulement la formule de f.

La même prudence s'applique à la chronologie de Ritt : 1893, 1910, 1913 et 1951 sont rattachés respectivement à sa naissance, son emploi à l'Observatoire naval, son diplôme et sa mort. Sa thèse à Columbia et son poste permanent après la Première Guerre mondiale restent des jalons sans année précise dans la source.

Dans une histoire de l'analyse, le nom de Ritt sert à relier plusieurs sujets : intégrales indéfinies, équations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles. Si l'on cherche son apport le plus distinctif, on privilégie toutefois ses travaux en algèbre différentielle.

Pour lire une notice biographique, on rattache chaque date à son fait exact. Ici, 1910 correspond à son emploi à l'Observatoire naval, tandis que 1913 correspond à son diplôme de George Washington. La thèse à Columbia ne reçoit pas de date plus précise dans la source.

Pour situer son héritage mathématique, on observe le type d'équations concerné : des équations différentielles polynomiales abordées par une théorie algébrique. Si le sujet porte seulement sur une technique de résolution analytique, cette notice biographique ne suffit pas et il faut consulter un traitement des équations elles-mêmes.

Joseph Fels Ritt et l'algèbre différentielle. Le premier est une personne, née en 1893 et morte en 1951 ; la seconde est un domaine mathématique. Un texte qui décrit une carrière, une thèse ou un poste concerne Ritt. Un texte qui étudie algébriquement des équations différentielles polynomiales concerne le domaine auquel il a contribué.

Université George Washington et université Columbia. Ritt obtient son diplôme de la première en 1913. Il soutient sa thèse dans la seconde sous la direction d'Edward Kasner, puis y mène l'essentiel de sa carrière. Le type d'étape — diplôme, thèse ou poste — permet de trancher.

La chronologie fournie ne date ni la soutenance de thèse ni l'obtention du poste permanent. Leur attribuer une année précise donnerait une fausse impression de certitude. Il faut conserver l'ordre documenté : le diplôme date de 1913, la thèse vient ensuite, et le poste permanent est obtenu après la Première Guerre mondiale.

Dire que Ritt a travaillé sur les équations différentielles ne résume pas toute son activité. La source mentionne aussi les intégrales indéfinies, ainsi que deux cadres distincts : les équations différentielles ordinaires et les équations aux dérivées partielles. Pour éviter l'amalgame, il faut nommer le cadre concerné.

Dans l'exemple f′ − f = 0, vérifier que f(x) = e^x satisfait une relation polynomiale permet de voir comment une fonction et sa dérivée deviennent les objets d'un même calcul algébrique. Ce cas ne fournit toutefois ni une méthode générale de résolution ni une classification des équations différentielles polynomiales. Il illustre un point de vue ; il ne résume pas à lui seul l'algèbre différentielle, qui ne doit pas être confondue avec l'ensemble de l'algèbre ou de l'analyse.

L'article Équations différentielles / Connaître l’espace des solutions sans les calculer prolonge la lecture vers l'étude des solutions d'équations différentielles, au-delà du parcours biographique de Ritt.

La fiche Différentielle fournit un autre point d'entrée dans le vocabulaire de l'analyse. Elle aide à distinguer ce terme de l'algèbre différentielle associée aux travaux de Ritt.