La dérivée pour toucher le fond

Dans sa très belle autobiographie, le grand physicien du XX^e siècle Richard Feynman raconte que, lorsqu’il était étudiant, il fit un jour la farce mathématique suivante. Quelqu’un avait posé la question de savoir si la forme d’un trace-courbe pouvait être décrite d’une manière mathématique. « Bien sûr ! répondit-il facétieusement. Ces courbes sont très spéciales. Elles sont faites de sorte que, à leur point le plus bas, quelle que soit la manière dont on la tourne, leur tangente est horizontale. » Et les autres étudiants de s’extasier devant cette propriété soi-disant unique…

Ce que Feynman savait, mais que curieusement les autres étudiants du Massachusetts Institute of Technology ignoraient, c’est que la tangente est horizontale au point le plus bas de n’importe quelle courbe un tant soit peu « lisse ». Une définition rudimentaire de la notion de tangente en un point d’une courbe suffit à s’en persuader. Donnons-nous une courbe C quelconque et « suffisamment régulière » (notion à définir précisément selon le contexte), ainsi qu’un point A sur cette courbe. La tangente à C en A est la droite qui épouse « le mieux » la forme de la courbe au voisinage du point A. Si l’on imagine que C est la forme d’une route suivie par une voiture, alors la direction de la tangente est celle que suivra cette voiture si, au point A, une grosse plaque de glace la fait subitement patiner et qu’elle ne peut plus contrôler sa direction.

Pour visualiser la tangente, on peut aussi faire un zoom de plus en plus resserré autour de A. Si C est assez régulière, en zoomant « de plus en plus », on s’aperçoit qu’au voisinage immédiat de A, la courbe se confond pratiquement avec une ligne droite.