cycloid
En géométrie plane, une cycloïde est la trajectoire d’un point solidaire d’un cercle qui roule sans glisser sur une droite ; dans le cas usuel de la cycloïde droite, le point est sur le bord du cercle. Renversée, cette courbe donne, sous une pesanteur uniforme et sans frottement, la descente la plus rapide entre deux points pour un mobile partant du repos (brachistochrone) ; elle donne aussi le même temps d’arrivée au point bas quel que soit le point de départ au repos sur l’arche (tautochrone).
Contents
What you will learn
- Relier le roulement sans glissement aux équations paramétriques de la cycloïde droite.
- Calculer le sommet, la largeur, la longueur et l'aire d'une arche pour un rayon de 2 cm.
- Distinguer cycloïde droite, trochoïdes raccourcie et allongée, épicycloïde et hypocycloïde.
- Interpréter correctement les propriétés brachistochrone et tautochrone avec leurs hypothèses.
In plain terms
Imaginez une pastille rouge sur le bord d'une roue qui avance sur une ligne sans patiner. La pastille touche le sol, s'élève pendant que la roue tourne, puis revient toucher le sol. Sa trajectoire forme une succession d'arches pointues : c'est la cycloïde droite.
La rotation et l'avancée sont liées par le roulement sans glissement. Après un tour complet, le centre de la roue a parcouru sa circonférence, tandis que la pastille a dessiné exactement une arche.
Definition
Une courbe de roulement est engendrée par un point M solidaire d'un cercle qui roule sans glisser sur une base. Quand la base est une droite, la famille porte le nom générique de trochoïdes. Le rayon du cercle roulant est noté R et la distance entre M et son centre est notée d. Si d = R, le point M est sur le bord : la courbe est la cycloïde droite. Si d est inférieur à R, elle est raccourcie ; si d est supérieur à R, elle est allongée.
Pour la cycloïde droite, le paramètre t représente l'angle de rotation du cercle, en radians. En prenant la droite de base pour axe horizontal et un point de contact pour origine, les coordonnées du point sont :
Une arche correspond à une variation de t de 0 à 2π. Elle mesure 8R de longueur et enferme avec la base une aire égale à 3πR2. Si la base est un cercle, le cercle roulant engendre une épicycloïde à l'extérieur de la base ou une hypocycloïde à l'intérieur.
A step-by-step example
Prenons une roue de rayon R = 2 cm et un point M placé sur son bord, donc d = 2 cm. La roue part d'un point de contact choisi comme origine et roule sur une droite sans glisser. Le paramètre t varie de 0 à 2π radians pendant un tour complet.
1. À mi-tour, t = π. On remplace t dans les équations :
cm et cm. Le point est au sommet de l'arche.
cm et cm. Le point est au sommet de l'arche.
2. Après un tour, t = 2π. Le point revient sur la base en x = 4π cm : l'arche a donc une largeur de 4π cm.
3. Les formules géométriques donnent une longueur de 8R = 16 cm et une aire de 3πR2 = 12π cm2. Le contrôle est direct : le sommet est à deux rayons de la base et la largeur égale la circonférence 2πR = 4π cm.
In practice
Pour tracer la courbe, on marque un point sur le bord d'un disque et l'on suit ce point pendant que le disque roule sans glisser. Si le point est à l'intérieur ou à l'extérieur du disque, il faut choisir la trochoïde raccourcie ou allongée correspondante.
Dans un problème de descente idéale sous la pesanteur, sans frottement et avec un départ au repos, une arche renversée de cycloïde fournit la trajectoire brachistochrone. Elle est à préférer quand le critère est le temps minimal, et non la distance géométrique la plus courte.
Pour obtenir un même temps d'arrivée au bas de l'arche depuis différents points de départ, avec un lâcher au repos à chaque point, on exploite la propriété tautochrone de la cycloïde. Une autre trajectoire ne convient pas dès que les temps de descente observés dépendent du point de départ.
Not to be confused with
Trochoïde. Ce nom couvre les courbes produites par un point solidaire d'un cercle roulant sur une droite. La cycloïde droite est le cas précis où d = R ; avec d inférieur ou supérieur à R, le tracé est une trochoïde raccourcie ou allongée.
Épicycloïde. Sa base est un cercle et le cercle roulant se déplace à l'extérieur. Si la base observée est droite, ce n'est pas une épicycloïde.
Hypocycloïde. Sa base est également un cercle, mais le cercle roulant se déplace à l'intérieur. Le côté du roulement suffit donc à la distinguer de l'épicycloïde.
Limits and pitfalls
Le roulement doit être sans glissement. Si le cercle patine, la distance parcourue n'est plus égale à R fois l'angle tourné. Les équations de la cycloïde droite ne décrivent alors plus la trajectoire ; il faut modéliser séparément la translation et la rotation.
Le seuil d = R change la forme. Pour d inférieur à R, le point reste à l'intérieur du cercle et la courbe est raccourcie. Pour d supérieur à R, elle devient allongée. Seul le cas charnière d = R donne la cycloïde droite et ses pointes sur la base.
Brachistochrone ne signifie pas plus court chemin. La propriété compare des temps de descente sous la pesanteur, pour un point matériel partant du repos et sans frottement. Dès que ces hypothèses changent, il faut réexaminer le modèle au lieu de conserver automatiquement la cycloïde.
Tautochrone concerne le bas d'une arche. L'égalité porte sur le temps de descente jusqu'au point bas pour des mobiles lâchés au repos depuis différents points de la courbe, sous une pesanteur uniforme et sans frottement. Elle ne dit pas que tout trajet entre deux points arbitraires dure autant.
Further reading
Épicycloïde — Elle prolonge l'étude lorsque le cercle roule à l'extérieur d'une base circulaire.
Hypocycloïde — Elle montre ce que devient la courbe lorsque le roulement se fait à l'intérieur d'un cercle.
Problème de la brachistochrone — Il développe le problème de temps minimal dont la cycloïde fournit la trajectoire idéale.
Tautochrone — Cette fiche approfondit l'égalité des temps de descente depuis plusieurs points d'une même arche.
Les débuts de la cycloïde — L'article replace l'étude de cette courbe dans son histoire mathématique.
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