pentahedron
Un pentaèdre est un polyèdre à exactement 5 faces. Il en existe deux grandes familles combinatoirement distinctes. La première comprend les solides dotés d'une base quadrilatérale entourée de 4 faces triangulaires, dont la pyramide à base carrée est un exemple classique. La seconde regroupe les solides formés de 3 faces quadrilatérales adjacentes et de 2 faces triangulaires non adjacentes, comme le prisme triangulaire.
Contents
What you will learn
- Définir un pentaèdre par son nombre exact de faces.
- Reconnaître les types pyramidal et prismatique par l'agencement de leurs faces.
- Vérifier les comptes de faces, d'arêtes et de sommets avec la relation d'Euler.
- Écarter les patrons ouverts, les subdivisions artificielles et les confusions avec le pentagone.
In plain terms
Prenez un solide fermé et comptez les surfaces planes qui forment son enveloppe. S'il y en a exactement cinq, ce solide est un pentaèdre. Une pyramide à base carrée en possède une carrée et quatre triangulaires. Un prisme triangulaire en possède deux triangulaires et trois quadrilatérales. La forme précise et les dimensions peuvent changer : c'est l'organisation des faces qui distingue ces deux familles.
Definition
Un pentaèdre est un polyèdre dont la surface fermée est découpée en exactement cinq faces polygonales. Dans le cadre usuel des polyèdres convexes, il existe deux types combinatoires : les longueurs et les angles peuvent varier sans modifier les voisinages entre faces.
Dans le type pyramidal, une face quadrilatérale sert de base et quatre faces triangulaires se rejoignent au sommet opposé. La pyramide à base carrée en est un cas particulier : la base n'a pas besoin d'être carrée pour que le solide reste dans cette famille. Ce type possède cinq sommets et huit arêtes.
Dans le type prismatique, deux faces triangulaires ne sont pas adjacentes et trois faces quadrilatérales les relient. Le prisme triangulaire en est le modèle classique ; il possède six sommets et neuf arêtes. En notant V le nombre de sommets, E le nombre d'arêtes et F le nombre de faces, les deux types vérifient la relation d'Euler .
A step-by-step example
On examine un modèle fermé composé de cinq faces polygonales : deux triangles qui ne partagent aucune arête et trois quadrilatères placés entre eux.
1. Le total de cinq faces établit que le modèle est un pentaèdre.
2. Les deux triangles non adjacents, reliés par trois quadrilatères, identifient la famille du prisme triangulaire.
3. Les faces fournissent 2 × 3 + 3 × 4 = 18 côtés comptés avec répétition. Chaque arête appartenant à deux faces, le solide possède 18 ÷ 2 = 9 arêtes.
4. La relation d'Euler donne alors V = 2 + 9 − 5 = 6 sommets.
2. Les deux triangles non adjacents, reliés par trois quadrilatères, identifient la famille du prisme triangulaire.
3. Les faces fournissent 2 × 3 + 3 × 4 = 18 côtés comptés avec répétition. Chaque arête appartenant à deux faces, le solide possède 18 ÷ 2 = 9 arêtes.
4. La relation d'Euler donne alors V = 2 + 9 − 5 = 6 sommets.
Le contrôle est refaisable avec les trois nombres obtenus : 6 − 9 + 5 = 2. Le modèle possède donc les comptes attendus pour le type prismatique. Les deux patrons de la figure rendent visible la différence d'agencement entre ce type et le type pyramidal.
In practice
Pour classer une maquette fermée, on commence par compter ses faces entières. Cinq faces conduisent au pentaèdre ; quatre ou six faces imposent une autre famille de polyèdres.
Pour reconnaître sa famille, on observe ensuite les types de faces et leurs voisinages. Une base quadrilatérale entourée de quatre triangles indique le type pyramidal. Deux triangles sans arête commune, reliés par trois quadrilatères, indiquent le type prismatique.
Pour vérifier un patron avant pliage, on compte cinq polygones et on contrôle les arêtes destinées à se rejoindre. Après pliage, la relation d'Euler sert de vérification supplémentaire ; elle ne remplace pas le contrôle d'une fermeture sans trou ni chevauchement.
Not to be confused with
Pentaèdre et pentagone. Le pentaèdre est un solide à cinq faces, tandis que le pentagone est une figure plane à cinq côtés. Une pyramide à base carrée est un pentaèdre sans posséder de face pentagonale.
Pentaèdre et prisme pentagonal. Le mot « pentagonal » décrit ici la forme des deux bases, pas le nombre total de faces. Un prisme pentagonal possède deux bases pentagonales et cinq faces latérales, soit sept faces : ce n'est donc pas un pentaèdre.
Pentaèdre et pyramide. Une pyramide n'est un pentaèdre que lorsque sa base est quadrilatérale. Avec une base triangulaire, elle ne possède que quatre faces ; avec une base pentagonale, elle en possède six.
Limits and pitfalls
Une subdivision ne crée pas toujours une nouvelle face géométrique. Si un trait partage artificiellement une même région plane du solide, compter les zones dessinées peut donner cinq sans former un pentaèdre. Il faut repérer les faces polygonales maximales séparées par de véritables arêtes.
Un patron de cinq polygones ne suffit pas. Après pliage, des bords peuvent rester libres ou des faces peuvent se chevaucher. Il faut vérifier que chaque arête est raccordée à une autre et que l'enveloppe obtenue est fermée.
Les deux familles supposent le cadre usuel. La classification pyramidale ou prismatique décrit les polyèdres convexes fermés considérés comme des surfaces sans trou. Pour un assemblage non convexe, auto-intersecté ou troué, le seul total de cinq faces ne justifie pas automatiquement cette classification ni la relation d'Euler sous la forme donnée.
Further reading
Le glossaire polyèdre replace le pentaèdre dans la famille générale des solides délimités par des faces polygonales.
La fiche Pyramide précise comment une base polygonale et des faces triangulaires se rejoignent en un sommet.
La fiche prisme développe le rôle des deux bases parallèles et des faces latérales qui les relient.
La formule d'Euler explique le contrôle qui relie les nombres de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe.
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