pentadecahedron
Le pentadécaèdre particulier étudié ici est un polyèdre convexe irrégulier à 15 faces, composé de 5 faces carrées et de 10 faces triangulaires isométriques. On peut le concevoir comme la réunion d'un prisme pentagonal dont les faces latérales sont des carrés, auquel on adjoint deux demi-pyramides pentagonales dont chaque face latérale est un triangle isométrique.
Contents
What you will learn
- Distinguer le sens général de pentadécaèdre du modèle à cinq carrés et dix triangles.
- Reconstituer les quinze faces à partir d'un prisme pentagonal et de deux coiffes pyramidales.
- Vérifier les 15 faces, 25 arêtes et 12 sommets avec la relation d'Euler.
In plain terms
Imaginez un prisme en forme de colonne à cinq côtés. Sa ceinture comporte cinq carrés. Coiffez ensuite chacune de ses deux bases pentagonales par une pointe reliée aux cinq sommets de la base. Les deux pentagones disparaissent alors à l'intérieur de l'assemblage.
La surface visible réunit ainsi cinq carrés et deux groupes de cinq triangles de même forme. On compte donc quinze faces : c'est la construction particulière de pentadécaèdre décrite dans cette fiche.
Definition
Au sens général, un pentadécaèdre est un polyèdre possédant quinze faces. Le modèle étudié ici est plus précis : il est convexe et sa frontière se compose de cinq carrés et de dix triangles isométriques, c'est-à-dire superposables. Comme deux sortes de faces interviennent, ce solide n'est pas un polyèdre régulier.
Sa construction part d'un prisme pentagonal. Les cinq faces latérales du prisme sont des carrés. Une partie pyramidale est accolée sur chacune de ses deux bases pentagonales ; chacune apporte cinq faces triangulaires. Après l'assemblage, les bases pentagonales communes sont intérieures au solide et ne comptent plus parmi ses faces.
Le nombre de faces, noté F, est donc donné par . L'adjectif convexe signifie que le segment joignant deux points quelconques du solide reste entièrement dans le solide ; il écarte ici les assemblages rentrants ou auto-intersectés.
A step-by-step example
On vérifie le modèle construit autour d'un prisme pentagonal.
Données :
— le prisme possède 5 faces carrées latérales et 2 bases pentagonales ;
— chaque partie pyramidale possède 5 faces triangulaires et 1 sommet extérieur ;
— les 2 bases pentagonales servent au collage et deviennent intérieures.
Données :
— le prisme possède 5 faces carrées latérales et 2 bases pentagonales ;
— chaque partie pyramidale possède 5 faces triangulaires et 1 sommet extérieur ;
— les 2 bases pentagonales servent au collage et deviennent intérieures.
1. Les cinq carrés restent sur la frontière du solide.
2. Les deux coiffes apportent 5 + 5 = 10 triangles. Le total est donc 5 + 10 = 15 faces.
3. Le prisme fournit 10 sommets et 15 arêtes. Les deux pointes ajoutent 2 sommets et 10 arêtes, soit V = 12 et E = 25.
4. Le contrôle d'Euler pour ce polyèdre convexe donne . Le comptage des faces, des arêtes et des sommets est cohérent.
In practice
Pour reconnaître le modèle de cette fiche, comptez d'abord les types de faces : cinq carrés et dix triangles congruents doivent apparaître. Si seules les quinze faces sont connues, retenez le nom général de pentadécaèdre sans conclure à cette construction particulière.
Pour fabriquer une maquette, préparez séparément la ceinture de cinq carrés et les deux coiffes de cinq triangles. Cette décomposition est préférable à un patron unique lorsque les plis autour des deux pentagones deviennent difficiles à repérer.
Pour contrôler un dessin ou un modèle, comptez aussi douze sommets et vingt-cinq arêtes, puis appliquez la relation d'Euler. Un échec du contrôle signale une face oubliée, une arête comptée deux fois ou un assemblage qui n'est pas celui décrit.
Not to be confused with
Un prisme pentagonal possède cinq faces latérales et deux bases pentagonales, soit sept faces. Dans le pentadécaèdre construit ici, les bases sont recouvertes et dix triangles les remplacent sur la surface extérieure.
Une bipyramide pentagonale réunit deux pyramides par leur base et présente dix faces triangulaires, sans ceinture carrée. La présence des cinq carrés tranche immédiatement entre les deux solides.
Un polyèdre régulier a des faces régulières toutes identiques. Le solide décrit ici mêle carrés et triangles : même si ses dix triangles sont isométriques, il ne devient donc pas régulier.
Limits and pitfalls
Le nom « pentadécaèdre » impose seulement quinze faces dans son sens large. Si un solide à quinze faces n'a pas exactement cinq carrés et dix triangles isométriques, il reste un pentadécaèdre, mais ce n'est pas le modèle particulier présenté ici.
Les deux pentagones du prisme sont des surfaces de collage, non des faces extérieures. Les ajouter au décompte conduit à dix-sept ; il faut compter uniquement les polygones visibles sur la frontière finale.
Les nombres 15, 25 et 12 décrivent la combinatoire du modèle, mais ne fixent ni ses angles, ni ses longueurs, ni son volume. Pour calculer une mesure, il faut ajouter des dimensions et des hypothèses géométriques absentes de la seule liste des faces.
Le contrôle V − E + F = 2 s'applique ici grâce à l'hypothèse de convexité. Un assemblage rentrant, percé ou auto-intersecté sort du cadre annoncé ; il faut alors examiner sa surface avant d'utiliser cette relation.
Further reading
Le glossaire polyèdre replace le pentadécaèdre dans la famille générale des solides délimités par des faces polygonales.
La fiche polyèdre convexe précise la condition géométrique qui exclut les creux et sécurise le contrôle utilisé dans l'exemple.
La formule d'Euler fournit le test reliant faces, arêtes et sommets qui vérifie le comptage du modèle.
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