La figure géométrique la plus connue où apparaît φ est le pentagramme, que les pythagoriciens avaient adopté comme symbole de reconnaissance.
Le pentagramme : un pentagone régulier croisé, appelé aussi pentacle.
Le tracé des diagonales du pentagone régulier convexe (P) dessine à l’intérieur de celui-ci l’unique pentagone régulier étoilé, et découpe (P) en un pentagone régulier convexe plus petit entouré de dix triangles de deux types.
Dans AJF, le rapport AF/JF vaut exactement φ. On qualifie généralement ce triangle de triangle d’or. Dans DHC, le rapport DC/JDH vaut également φ. On qualifie parfois ce triangle de triangle d’argent.
1. Quel est le rapport entre les dimensions du petit pentagone convexe (bleu) et celles du grand (jaune) ? Et entre leurs aires ?
À partir de notre pentagone initial, on construit une suite de pentagones de plus en plus petits, qui s’emboîtent les uns à la suite des autres, en se recouvrant partiellement, comme le montre la figure.
2. Si CD = 1, que vaut CX, X étant le point limite lorsqu’on emboîte une infinité de pentagones ?
Et toujours Penrose !
En assemblant deux triangles d’or par leurs petits côtés, on obtient un losange. Il en est de même si on assemble deux triangles d’argent par leurs grands côtés.
Sir Roger Penrose a utilisé ces deux types de losanges pour construire des pavages non périodiques du plan (voir Tangente 198, 2021).
Chose remarquable : il a été démontré que lorsqu’on pave une surface de plus en plus grande avec ces deux types de losanges, le rapport entre les « losanges gras » et les « losanges minces » se rapproche de plus en plus du nombre d’or !
