666 : Le chiffre de la Bête et les repdigits - Les secrets du nombre maudit

Un repdigit est un entier qui s’écrit avec un seul chiffre plusieurs fois répété, comme le fameux 666, le « chiffre de la Bête » de l’Apocalypse. Divers liens sont possibles avec d’autres ensembles de nombres tels que les carrés parfaits ou les nombres triangulaires, à qui des propriétés mystiques ont aussi été attribuées.

Existe-t-il des repdigits qui sont aussi des carrés parfaits ? Pour les entiers à un seul chiffre, 0, 1, 4 et 9 répondent à la question. Avec deux chiffres, on n’en trouve aucun. Au-delà de 100, on observe que les carrés qui finissent par deux chiffres identiques finissent par 00 ou 44.

Les nombres triangulaires sont les entiers de la forme $T_n=1+2+3+\dots +nT\_n\; =\; 1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; \backslash ldots\; +\; n$. On n'en connaît que six qui s'écrivent avec un seul chiffre : $T_1=1T\_1\; =\; 1$, $T_2=3T\_2\; =\; 3$, $T_3=6T\_3\; =\; 6$, $T_{10}=55T\_\{10\}\; =\; 55$, $T_{11}=66T\_\{11\}\; =\; 66$ et... $T_{36}=666T\_\{36\}\; =\; 666$, le « chiffre de la Bête », à la réputation plutôt maléfique (voir Quand le diable s'invite. Fabrice Arnaud, Tangente 227, 2026).

Au passage, on notera quelques coïncidences numériques avec $T_8=36T\_\{8\}=36$ ; $T_{36}=666T\_\{36\}=666$ et $T_{666}=222111T\_\{666\}=222111$.

Il n'existe aucun autre repdigit triangulaire. Une première démonstration en a été proposée en 1975 dans le Journal of Recreational Mathematics. Malheureusement, un argument faux s'y était glissé : les nombres se terminant par ...8889 ne sont jamais des carrés. Or ${333}^2=110889333^\{2\}\; =\; 110889$, entre autres...

D’autres démonstrations ont été proposées, mais ce n’est qu’en 2025 qu’une preuve élémentaire a été trouvée, par le mathéma-ticien allemand Christian Hercher.

S'il existait un repdigit triangulaire $R>666R\; >\; 666$, alors celui-ci s'écrirait: $$R=n(n+1)\mathrm{/}2=a({10}^k-1)\mathrm{/}9R\; =\; n(n\; +\; 1)/2\; =\; a(10^\{k\}\; -\; 1)/9$$, avec $k>3k\; >\; 3$ et $aa$ un entier entre 1 et 9. On en déduirait: $$4n(n+1)=8a({10}^k-1)\mathrm{/}94n(n\; +\; 1)\; =\; 8a(10^\{k\}\; -\; 1)/9$$ et $(2n+1{)}^2=1+8a({10}^k-1)\mathrm{/}9(2n\; +\; 1)^\{2\}\; =\; 1\; +\; 8a(10^\{k\}\; -\; 1)/9$.

Le nombre $1+8a({10}^k-1)\mathrm{/}91\; +\; 8a(10^\{k\}\; -\; 1)/9$ devant être un carré d'entier, on peut exclure certaines valeurs de $aa$, à l'aide du tableau suivant.

Le chiffre des unités d'un carré ne pouvant être qu'un des chiffres de l'ensemble $\{0;1;4;5;6;9\}\backslash \{0;1;4;5;6;9\backslash \}$, le tableau suggère (ce qu'on peut aussi démontrer en bonne et due forme) que a ne peut pas prendre les valeurs 2, 4, 7 et 9. Par ailleurs les carrés des multiples impairs de 5 se terminent obligatoirement par 25, ce qui permet aussi d'exclure les valeurs 3 et 8. Il reste donc trois possibilités : 1, 5 et 6. À l'aide des équations de Pell-Fermat, Hercher démontre alors que, dans chacun de ces cas, il n'existe pas d'autres solutions que celles appartenant à l'ensemble {1 ; 3 ; 6 ; 55 ; 66 ; 666}.

Le nombre 666 est donc sans conteste le roi des repdigits triangulaires, car le plus grand. Gageons que ce nombre réputé malin sait qu’il ne pourra jamais être détrôné.

• Triangular Numbers With a Single Repeated Digit, Christian Hercher, Journal of Integer Sequences 28, 2025.