El interés por la serie armónica puede reavivarse con el siguiente problema: un despistado ha perdido el número de su asiento reservado en un teatro de N localidades. Entra el primero y se sienta al azar, en cualquier sitio. Los demás espectadores entran uno tras otro y se sientan en sus respectivos asientos. El despistado cede el suyo en cuanto alguien lo reclama y se sienta en otro asiento libre. ¿Cuántos cambios de asiento necesitará por término medio antes de encontrar el que le corresponde? Volveremos a ello al final del artículo…
Una idea ingeniosa ===================
Una de las primeras sorpresas de los jóvenes matemáticos es que una suma infinita de números estrictamente positivos cuyos términos se hacen «cada vez más pequeños» pueda divergir, es decir, ¡llegar a ser mayor que cualquier cantidad que se quiera! El asombro perdura desde hace siglos. Sin embargo, un teólogo del 14.º siglo, Nicole Oresme, demostró que la serie armónica, suma infinita formada por la sucesión H de los inversos de los números enteros (es decir, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …), diverge. La demostración de la divergencia apareció en 1360 en Questiones super geometriam Euclidis. En su demostración, Oresme agrupa los términos de modo que cada grupo de números entre paréntesis sea mayor que 1/2. Denotemos por Hn la suma finita de los n primeros términos de la serie armónica (Hn denota, por tanto, un número positivo) y consideremos H16 para ilustrar su ingeniosa idea: H16 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 \+ 1/15 + 1/16 por tanto H16 = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12+ 1/13 + 1/14 \+ 1/15 + 1/16). Observemos: (1/3 + 1/4) > 1/4 + 1/4 = 1/2. (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2. (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) > 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 1/2.
Así, cada suma entre paréntesis es mayor que 1/2. De ello se deduce que H16 > 1 + 1/2 + (1/2) × 3, por tanto H16 > 3. Del mismo modo, si N designa el entero 2n, entonces HN > 1 + (1/2) × n, y, por tanto, cuando el número n de términos tiende a infinito, obtenemos la serie armónica… que diverge.
¡Cuidado, sin embargo, con la agrupación de los términos de una serie divergente! De otro modo, podríamos deducir, por ejemplo, que la serie S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …, cuyas sumas parciales, Sn = n, aumentan indefinidamente, converge hacia –1 (!) porque: S = (2 – 1) + (3 – 2) + (4 – 3) + … y, por tanto, S = –1 + (2 – 2) + (3 – 3) + … = – 1. El gran matemático Niels Henrik Abel escribía incluso en 1826 que «las series divergentes son una invención del diablo y sería vergonzoso utilizarlas en una demostración».