L’interesse per la serie armonica può essere ravvivato dal seguente problema: uno sbadato ha perso il numero del posto prenotato in un teatro con N posti. Entra per primo e si siede a caso, dove capita. Gli altri spettatori entrano uno dopo l’altro e si siedono al proprio posto. Lo sbadato lascia il posto non appena qualcuno lo reclama e si accomoda in un nuovo posto libero. Quanti cambi di posto dovrà fare in media prima di trovare il suo posto assegnato? Torneremo sull’argomento alla fine dell’articolo…
Un’idea ingegnosa ===================
Una delle prime sorprese per i giovani matematici è che una somma infinita di numeri strettamente positivi, i cui termini diventano «sempre più piccoli», possa divergere, cioè diventare più grande di qualunque quantità si voglia! Lo stupore dura da secoli. Eppure, un teologo del 14º secolo, Nicole Oresme, dimostrò che la serie armonica, somma infinita formata dalla successione H dei reciproci dei numeri interi (ossia 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …), diverge. La dimostrazione della divergenza apparve nel 1360 in Questiones super geometriam Euclidis. Nella sua dimostrazione, Oresme raggruppa i termini in modo che ogni gruppo di numeri tra parentesi sia maggiore di 1/2. Indichiamo con Hn la somma finita dei primi n termini della serie armonica (Hn indica dunque un numero positivo) e consideriamo H16 per illustrare la sua ingegnosa idea: H16 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 \+ 1/15 + 1/16 dunque H16 = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12+ 1/13 + 1/14 \+ 1/15 + 1/16). Osserviamo bene: (1/3 + 1/4) > 1/4 + 1/4 = 1/2. (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2. (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) > 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 1/2.
Così, ogni somma tra parentesi è maggiore di 1/2. Ne deduciamo che H16 > 1 + 1/2 + (1/2) × 3, dunque H16 > 3. Allo stesso modo, se N indica l’intero 2n, allora HN > 1 + (1/2) × n, e quindi, quando il numero n di termini tende all’infinito, si ottiene la serie armonica… che diverge.
Attenzione però ai raggruppamenti dei termini di una serie divergente! Altrimenti si potrebbe dedurre, per esempio, che la serie S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …, le cui somme parziali, Sn = n, crescono indefinitamente, converge a –1 (!) perché: S = (2 – 1) + (3 – 2) + (4 – 3) + … e dunque S = –1 + (2 – 2) + (3 – 3) + … = – 1. Il grande matematico Niels Henrik Abel scriveva persino nel 1826 che «le serie divergenti sono un’invenzione del diavolo e sarebbe vergognoso usarle in una dimostrazione».