El cubo de un número entero es congruente, módulo 9, con 0, 1 o – 1. Para convencerse, basta comprobarlo para los enteros del 1 al 9. Por tanto, módulo 9, la suma de tres cubos puede tomar todos los valores comprendidos entre 0 y 8, salvo 4 y 5.
A la inversa, dado un entero k cuyo resto al dividirlo entre 9 no sea ni 4 ni 5, ¿puede escribirse como suma de tres cubos de números enteros, es decir, pueden hallarse tres números enteros a, b y c tales que k = a3 + b3 + c3? Se cree que así es. Para algunos valores de k, el ejercicio es sencillo y a veces puede resolverse de varias maneras. Así, 3 = 13 + 13 + 13 = 43 + 43 + (– 5)3.
Esta conjetura, enunciada en 1955 por el matemático británico Louis Joel Mordell (1888–1972), todavía no se ha demostrado, pero para valores de k entre 0 y 100 solo quedaban dos casos sin resolver: 33 y 42.
A comienzos de este año, gracias a algoritmos perfeccionados y ordenadores superpotentes, Andrew Booker, de la Universidad de Bristol (Inglaterra), demostró que:
33 = (8 866 128 975 287 528)3
+ (– 877 845 442 862 239)3
+ (– 27 361 114 688 070 040)3.
Muy recientemente, el estadounidense Andrew Sutherland, del MIT de Boston (Massachusetts), descubrió que:
42 = (–80 538 738 812 075 974)3
+ 80 435 758 145 817 5153
+ 12 602 123 297 335 6313.
La conjetura queda así demostrada para todos los números inferiores a 100. Sin embargo, aún quedan once números inferiores a 1 000 sin solución: 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975.
