El cubo de un número entero es congruente, módulo 9, con 0, 1 o –1. Para convencerse, basta comprobarlo para los enteros del 1 al 9. Por tanto, módulo 9, la suma de tres cubos puede tomar todos los valores comprendidos entre 0 y 8, salvo 4 y 5.
Recíprocamente, dado un número entero k cuyo resto al dividirlo entre 9 no es ni 4 ni 5, ¿puede escribirse como suma de tres cubos de números enteros, es decir, pueden encontrarse tres números enteros a, b y c tales que k = a3 + b3 + c3? Se cree que así es. Para algunos valores de k, el ejercicio es sencillo y esto puede hacerse a veces de varias maneras. Así, 3 = 13 + 13 + 13 = 43 + 43 + (– 5)3.
Esta conjetura, formulada en 1955 por el matemático británico Louis Joel Mordell (1888–1972), aún no ha sido demostrada, pero, para k comprendido entre 0 y 100, solo resistían dos casos: 33 y 42.
A comienzos de este año, gracias a algoritmos mejorados y a ordenadores superpotentes, Andrew Booker, de la Universidad de Bristol (Inglaterra), demostró que:
33 = (8 866 128 975 287 528)3
\+ (– 877 845 442 862 239)3
\+ (– 27 361 114 688 070 040)3.
Hace muy poco, el estadounidense Andrew Sutherland, del MIT de Boston (Massachusetts), descubrió que:
42 = (–80 538 738 812 075 974)3
\+ 80 435 758 145 817 5153
\+ 12 602 123 297 335 6313.
La conjetura queda así demostrada para todos los números inferiores a 100. Sin embargo, aún quedan once números inferiores a 1 000 que no tienen solución: 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975.
