Le cube d’un nombre entier relatif est congru, modulo 9, soit à 0, soit à 1, soit à – 1. Pour s’en convaincre, il suffit de le vérifier pour les entiers de 1 à 9. Modulo 9, la somme de trois cubes peut donc prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et 8, excepté 4 et 5.
Inversement, un entier k étant donné dont le reste de la division par 9 n’est égal ni à 4 ni à 5, peut-il s’écrire comme la somme de trois cubes d’entiers relatifs, c’est-à-dire peut-on trouver trois entiers relatifs a, b et c tels que k = a3 + b3 + c3 ? On pense que c’est bien le cas. Pour certaines valeurs de k, l’exercice est aisé et cela peut parfois se faire de plusieurs façons. Ainsi, 3 = 13 + 13 + 13 = 43 + 43 + (– 5)3.
Cette conjecture énoncée en 1955 par le mathématicien britannique Louis Joel Mordell (1888–1972) n’a toujours pas été démontrée, mais pour k compris entre 0 et 100 seuls deux irréductibles résistaient, 33 et 42.
En ce début d’année, grâce à des algorithmes perfectionnés et des ordinateurs surpuissants, Andrew Booker de l’université de Bristol (Angleterre) a montré que :
33 = (8 866 128 975 287 528)3
\+ (– 8 778 405 442 862 239)3
\+ (– 2 736 111 468 807 040)3.
Tout récemment, l’Américain Andrew Sutherland du MIT à Boston (Massachusetts) a découvert que :
42 = (–80 538 738 812 075 974)3
\+ 80 435 758 145 817 5153
\+ 12 602 123 297 335 6313.
La conjecture est donc prouvée pour tous les nombres inférieurs à 100. Il reste cependant encore onze nombres inférieurs à 1 000 sans solution : 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 et 975.
