Il cubo di un numero intero è congruo, modulo 9, a 0, 1 oppure – 1. Per convincersene, basta verificarlo per gli interi da 1 a 9. Modulo 9, la somma di tre cubi può dunque assumere tutti i valori compresi tra 0 e 8, tranne 4 e 5.
Viceversa, dato un intero k il cui resto nella divisione per 9 non è né 4 né 5, può essere scritto come somma di tre cubi di numeri interi? Ossia, si possono trovare tre numeri interi a, b e c tali che k = a3 + b3 + c3? Si ritiene che sia proprio così. Per alcuni valori di k, l’esercizio è facile e talvolta si può fare in più modi. Così, 3 = 13 + 13 + 13 = 43 + 43 + (– 5)3.
Questa congettura, enunciata nel 1955 dal matematico britannico Louis Joel Mordell (1888–1972), non è ancora stata dimostrata, ma per k compreso tra 0 e 100 rimanevano soltanto due casi irrisolti: 33 e 42.
All’inizio di quest’anno, grazie ad algoritmi perfezionati e a computer potentissimi, Andrew Booker dell’Università di Bristol (Inghilterra) ha dimostrato che:
33 = (8 866 128 975 287 528)3
\+ (– 877 845 442 862 239)3
\+ (– 27 361 114 688 070 040)3.
Di recente, l’americano Andrew Sutherland del MIT di Boston (Massachusetts) ha scoperto che:
42 = (–80 538 738 812 075 974)3
\+ 80 435 758 145 817 5153
\+ 12 602 123 297 335 6313.
La congettura è dunque dimostrata per tutti i numeri minori di 100. Restano tuttavia undici numeri minori di 1 000 senza soluzione: 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 e 975.
