Prenons deux nombres complexes, z1 = 19 + 4i et z2 = 3 + 2i. Les additionner, les soustraire ou les multiplier ne pose pas de problème particulier, il suffit de bien se souvenir que i2 = – 1. En revanche, la division peut être plus délicate. Une astuce consiste à bien utiliser la conjugaison. Aucun rapport avec le plus-que-parfait du subjonctif ! « Conjuguer » un nombre complexe consiste simplement à changer le signe de sa partie imaginaire. Ainsi, le conjugué de z2, qu'on note en général z2ˉ\bar{z_{2}} est égal à 3 – 2i. Quel intérêt ici ? Regardez ce que donne le produit d'un nombre complexe par son conjugué :
(a+ib)×(a+ib)‾=(a+ib)×(a−ib)(a+ib)\times\overline{(a+ib)}=(a+ib)\times(a-ib)
=a2−i2b2=a^{2}-i^{2}b^{2}
=a2+b2=a^{2}+b^{2}
Le résultat est toujours un nombre réel !