développante d'un cercle

Imaginez un fil tendu autour d'un disque. Maintenez son extrémité et déroulez-le sans le laisser se détendre : cette extrémité dessine une courbe qui s'éloigne peu à peu du disque. Cette trajectoire est la développante du cercle.

Le point où le fil quitte le cercle avance sur sa circonférence. En même temps, la partie droite du fil s'allonge exactement de la longueur déjà déroulée. Ce double mouvement détermine toute la forme.

La développante d'un cercle est une courbe plane obtenue par l'extrémité d'un fil inextensible, maintenu tendu et déroulé sans glisser sur un cercle de base. Notons a le rayon positif du cercle et t l'angle de déroulement, mesuré en radians. En plaçant le centre à l'origine et le départ au point (a, 0), le point P de la courbe a pour coordonnées :La branche physique correspondant à un déroulement dans un sens utilise t ≥ 0. Un paramètre signé produit aussi la branche symétrique.

Au paramètre t, le point de contact T sur le cercle vaut $T(t)=a(\cos t,\sin t)T(t)=a(\backslash cos\; t,\backslash sin\; t)$. Le segment droit TP, de longueur a|t|, est tangent au cercle. Pour t ≠ 0, la dérivée de P est $P^{\mathrm{\prime }}(t)=at(\cos t,\sin t)P\text{'}(t)=at(\backslash cos\; t,\backslash sin\; t)$ : la tangente à la développante est donc perpendiculaire au fil tendu, et non confondue avec lui.

La vitesse paramétrique vaut a|t|. Entre deux paramètres tels que 0 ≤ t₁ ≤ t₂, la longueur d'arc est :Elle dépend donc de la différence des carrés des angles, pas seulement de leur différence. Le nom anglais involute et l'appellation anti-clothoïde peuvent désigner cette même courbe.

La construction repose sur cinq éléments. Le cercle de base a pour centre O et rayon a. Le point T est le dernier point de contact du fil avec le cercle. Le segment TP est la partie déroulée et tendue du fil. Son extrémité P trace la développante. Enfin, l'angle t repère la position de T.

La figure prend un cercle de rayon 2 cm et un quart de tour de déroulement. Le rayon OT est perpendiculaire au fil TP, tandis que la tangente à la courbe en P est parallèle à OT. Ces deux perpendicularités séparent clairement la tangence au cercle de la tangence à la courbe.

La position de T fixe la longueur déroulée : |TP| = a|t|. Le rayon, l'angle et le sens de déroulement suffisent alors à construire P. Changer l'échelle modifie toutes les longueurs dans la même proportion, sans changer la forme relative de la courbe.

Prenons un cercle de centre O, de rayon a = 2 cm, et déroulons le fil d'un quart de tour. Les données sont donc t = π/2 rad, le départ (2, 0) et un déroulement dans le sens positif.

1. Le point de contact est $T=2(\cos (\pi \mathrm{/}2),\sin (\pi \mathrm{/}2))=(0,2)T=2(\backslash cos(\backslash pi/2),\backslash sin(\backslash pi/2))=(0,2)$, en centimètres.

2. La longueur de fil libérée est $at=2\times \pi \mathrm{/}2=\pi a\; t=2\backslash times\backslash pi/2=\backslash pi$ cm. Le fil part horizontalement de T dans cette configuration.

3. Les équations paramétriques donnent $P=(\pi ,2)P=(\backslash pi,2)$ cm. La distance |TP| vaut bien π cm, ce qui contrôle la cohérence entre le calcul et le déroulement.

4. Depuis le point initial jusqu'à P, la longueur parcourue sur la développante vaut :Ce résultat est plus court que le fil déroulé, qui mesure π cm, car il s'agit de deux longueurs différentes.

Pour tracer la courbe, on enroule un fil sur un disque, puis on marque plusieurs positions de son extrémité pendant le déroulement. Une construction par points est préférable à un croquis à main levée lorsque la tangence doit être contrôlée.

En mécanique, la développante sert de profil aux dents d'engrenages. Ce profil est retenu lorsque deux roues dentées doivent transmettre une rotation à vitesse constante ; un autre profil ne convient que s'il garantit le même critère de transmission.

Dans un calcul, les coordonnées donnent la position de l'extrémité, tandis que a|t| donne la longueur de fil déroulée. Comparer cette longueur à |TP| est un contrôle direct ; elle ne doit pas être confondue avec la longueur parcourue sur la courbe.

Développante et développée. La développante est ici la trajectoire de P lorsque le fil se déroule. La développée d'une courbe est une autre notion. Dans cette construction, le cercle de base joue le rôle de développée de la branche régulière de la développante.

Anti-clothoïde et clothoïde. Anti-clothoïde est donné ici comme un autre nom de la développante du cercle ; cela ne transforme pas la courbe en clothoïde. Les coordonnées $a(\cos t+t\sin t,\sin t-t\cos t)a(\backslash cos\; t+t\backslash sin\; t,\backslash sin\; t-t\backslash cos\; t)$ identifient sans ambiguïté la développante traitée.

Fil tangent et tangente à la courbe. Le segment TP est tangent au cercle de base. Pour t ≠ 0, il est perpendiculaire à la tangente à la développante en P. Un dessin où ces deux droites sont confondues ne représente donc pas le déroulement défini ici.

Au départ, t = 0. Le point P coïncide avec (a, 0) et la dérivée P'(0) est nulle. La formule usuelle du vecteur tangent ne fournit donc aucune direction en ce point singulier ; il faut examiner la direction limite lorsque t tend vers 0.

Longueurs différentes. Le fil déroulé mesure a|t|, mais l'arc de développante depuis le départ mesure at²/2 pour t ≥ 0. À t = 2 rad, ces valeurs sont respectivement 2a et 2a : leur égalité est exceptionnelle, pas une identité.

Sens de déroulement. Restreindre t à des valeurs positives décrit une seule branche physique. Autoriser des valeurs négatives de t ajoute la branche obtenue en déroulant dans l'autre sens. Il faut annoncer cette convention avant de parler de la courbe complète.

Modèle idéal. Les équations supposent un fil inextensible, tendu et sans glissement. Si le fil se détend, s'allonge ou glisse, la distance |TP| n'est plus garantie égale à a|t| ; il faut alors mesurer le mouvement réel au lieu d'appliquer directement ce modèle.

Développée — Situer le cercle de base parmi les centres de courbure de la branche régulière.

Clothoïde — Distinguer cette courbe de celle que l'appellation anti-clothoïde pourrait laisser confondre avec la développante.

La fascination des engrenages — Replacer le profil en développante dans le fonctionnement concret des roues dentées.