spirale de Cornu

Imaginez une voiture qui quitte une ligne droite pour entrer dans un virage circulaire. Si la route raccorde directement les deux tracés, le volant doit changer brusquement de position. Une clothoïde intercalée entre eux fait au contraire augmenter la courbure peu à peu : au départ, elle est nulle comme sur la droite ; plus loin, la courbe tourne davantage.

La distance parcourue le long de la voie commande cette progression régulière. Cette relation simple explique l'emploi de la spirale de Cornu comme courbe de transition sur les routes et les voies ferrées.

Une spirale de Cornu, ou clothoïde, est une courbe du plan paramétrée par son abscisse curviligne. Cette abscisse, notée s, mesure la longueur parcourue depuis une origine choisie. Sa courbure signée, notée κ(s), varie linéairement avec s. Avec la convention courante où l'origine est le point de courbure nulle et où A est un paramètre d'échelle positif, la relation s'écrit : $\kappa (s)=\frac{s}{A^2}\backslash kappa(s)=\backslash frac\{s\}\{A^2\}$. À orientation fixée, remplacer s par −s fait passer à l'autre branche et change le signe de κ. Si l'on inverse le parcours en posant t = −s, la courbure signée se transforme selon κ_rev(t) = −κ(−t) ; pour cette clothoïde, on retrouve donc κ_rev(t) = t/A².

L'angle de la tangente, noté θ(s), s'obtient en intégrant la courbure. Si θ₀ désigne l'angle à l'origine, alors : $\theta (s)={\theta }_0+\frac{s^2}{2A^2}\backslash theta(s)=\backslash theta\_0+\backslash frac\{s^2\}\{2A^2\}$. Pour une courbure non nulle, le rayon du cercle qui épouse localement la courbe vaut R(s) = 1/|κ(s)|. À l'origine, κ(0) = 0 : le rayon est alors infini, ce qui correspond localement à une droite.

Cette continuité de la courbure fait de la clothoïde une courbe de raccordement entre un segment droit et un arc circulaire, notamment pour les bretelles d'autoroute et les voies ferrées. Les appellations « spirale de Fresnel » et « spirale d'Euler » renvoient aussi à cette famille de courbes.

Considérons une clothoïde orientée vers la gauche, de paramètre A = 100 m. Le point de départ a pour abscisse curviligne s = 0 m, une courbure nulle et un angle tangent θ₀ = 0 rad. Nous cherchons les caractéristiques du tracé après 50 m.

1. La courbure croît avec la distance : $\kappa (50)=\frac{50}{{100}^2}=\mathrm{0,005}{\mathrm{m}}^{-1}\backslash kappa(50)=\backslash frac\{50\}\{100^2\}=0\{,\}005\backslash ;\backslash mathrm\{m\}^\{-1\}$.

2. Le rayon local est l'inverse de la valeur absolue de cette courbure : R(50) = 1/0,005 = 200 m. La figure met en regard le tracé et la croissance linéaire de κ.

3. L'angle pris par la tangente vaut $\theta (50)-{\theta }_0=\frac{{50}^2}{2\times {100}^2}=\mathrm{0,125}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\backslash theta(50)-\backslash theta\_0=\backslash frac\{50^2\}\{2\backslash times100^2\}=0\{,\}125\backslash ;\backslash mathrm\{rad\}$, soit environ 7,16°.

4. Un contrôle refaisable consiste à multiplier la courbure finale par la longueur puis à diviser par deux : 0,005 × 50 / 2 = 0,125 rad. Cette moitié apparaît parce que la courbure augmente linéairement de 0 à 0,005 m⁻¹.

Après 50 m, le raccordement possède donc un rayon local de 200 m et sa tangente a tourné d'environ 7,16°, sans saut de courbure au départ.

Pour raccorder une ligne droite à un virage routier, l'ingénieur choisit une clothoïde lorsque la courbure doit passer progressivement de zéro à celle de l'arc circulaire. Un raccord direct par un arc convient moins bien dès que ce saut de courbure doit être évité.

Pour une voie ferrée, le même critère guide le choix : la variation régulière de courbure évite une discontinuité de la direction centrifuge à l'entrée du virage. Le paramètre A et la longueur du raccordement déterminent ensemble la courbure atteinte.

Pour contrôler un tracé, il suffit de relever plusieurs couples distance–courbure depuis l'origine. Si le quotient κ(s)/s reste constant aux points où s n'est pas nul, ces relevés sont compatibles avec une même clothoïde ; sinon, il faut employer un autre modèle de courbe.

Clothoïde et arc de cercle. Un arc de cercle possède une courbure constante, tandis que celle d'une clothoïde varie proportionnellement à la distance parcourue. Dans l'exemple, le rayon local passe de l'infini à 200 m : ce n'est donc pas un unique arc de cercle.

Clothoïde et spirale définie par sa distance au centre. Le mot « spirale » ne suffit pas à identifier une spirale de Cornu. Le test décisif porte ici sur la courbure et l'abscisse curviligne : κ(s)/s doit être constant lorsque s ≠ 0, indépendamment de l'apparence du dessin.

Origine de la courbure. À s = 0, la courbure vaut zéro et le rayon 1/|κ| n'est pas un nombre fini. Écrire R = A²/|s| rend ce comportement visible : il faut parler d'une tangente droite à la limite, et non calculer 1/0.

Orientation et signe. Une courbure négative n'indique pas un rayon négatif ; elle signale le sens opposé du virage selon l'orientation choisie. Pour une longueur géométrique, utilisez R = 1/|κ| et annoncez séparément le sens de rotation.

Proportionnalité mal testée. Comparer seulement les courbures aux deux extrémités ne suffit pas à reconnaître une clothoïde. Si des relevés intermédiaires ne s'alignent pas avec κ(s) = s/A², le tracé n'est pas une unique clothoïde de paramètre A ; il faut le décrire par morceaux ou choisir un autre modèle.

La courbure permet de reconstruire la forme. En intégrant d'abord κ(s), on obtient l'angle θ(s) de la tangente ; en intégrant ensuite les composantes cos θ(s) et sin θ(s), on obtient les coordonnées de la clothoïde. Ce passage explique pourquoi une loi de courbure très simple produit une courbe dont les coordonnées le sont moins.