hyperbolic function
Les fonctions hyperboliques sont au nombre de six : sinus hyperbolique (sh), cosinus hyperbolique (ch), tangente hyperbolique (th), et leurs réciproques Argsh, Argch, Argth. Elles sont définies à partir de la fonction exponentielle réelle : ch x = (eˣ + e⁻ˣ) / 2, sh x = (eˣ − e⁻ˣ) / 2, th x = (eˣ − e⁻ˣ) / (eˣ + e⁻ˣ). On a l'identité fondamentale ch²x − sh²x = 1, analogue à cos²x + sin²x = 1 pour les fonctions trigonométriques circulaires. Les fonctions réciproques sont : Argsh x = ln(x + √(x² + 1)), définie sur ℝ ; Argch x = ln(x + √(x² − 1)), définie sur [1, +∞[ ; Argth x = (1/2) ln((1 + x)/(1 − x)), définie sur ]−1, 1[. Le couple (ch(t), sh(t)) paramétrise la branche droite de l'hyperbole unité x² − y² = 1, tandis que les fonctions trigonométriques paramétrisent le cercle unité.
Contents
What you will learn
- Relier ch, sh et th aux exponentielles eˣ et e⁻ˣ.
- Calculer ch, sh et th en x = ln(2) avec des fractions exactes.
- Vérifier l’identité ch²(x) − sh²(x) = 1.
- Choisir Argsh, Argch ou Argth selon son domaine réel.
In plain terms
Imaginez un point qui avance sur l’hyperbole d’équation x² − y² = 1. Un même nombre règle sa position : le cosinus hyperbolique ch donne sa coordonnée horizontale et le sinus hyperbolique sh sa coordonnée verticale. Leur différence de carrés reste toujours égale à 1.
La tangente hyperbolique th compare ces deux coordonnées par leur quotient. Les fonctions Argsh, Argch et Argth effectuent le trajet inverse : à partir d’une valeur admissible, Argsh et Argth retrouvent le nombre de départ, tandis qu’Argch le retrouve sur la branche principale où ce nombre est positif ou nul.
Definition
Les fonctions hyperboliques réelles sont construites avec la fonction exponentielle. Pour un nombre réel x, le cosinus hyperbolique, noté ch, est la demi-somme de e à la puissance x et de e à la puissance opposée. Le sinus hyperbolique, noté sh, est leur demi-différence. La tangente hyperbolique, notée th, est le quotient de cette différence par cette somme.
Ces trois définitions s’écrivent , et . Elles vérifient l’identité . Le point de coordonnées ch(x) et sh(x) appartient donc à l’hyperbole unité d’équation x² − y² = 1.
Les fonctions inverses retrouvent l’argument à partir du résultat, avec une restriction pour le cosinus hyperbolique : Argch est l’inverse de ch restreinte à [0, +∞[, et pour tout réel x. Pour un réel u, est définie sur ℝ. La fonction exige u ≥ 1. Enfin, exige −1 < u < 1.
What it is made of
La construction repose sur quatre éléments. Les deux exponentielles ex et e−x fournissent les valeurs de départ. Leur somme, divisée par 2, forme ch(x). Leur différence, également divisée par 2, forme sh(x). Le quotient sh(x)/ch(x) forme ensuite th(x).
La somme et la différence ne sont pas indépendantes : lorsqu’on les élève au carré puis qu’on les soustrait, les termes exponentiels se compensent et donnent . Cette relation suffit à placer le couple (ch(x), sh(x)) sur l’hyperbole unité.
Les logarithmes et les racines carrées interviennent dans le mouvement inverse. Ils construisent Argsh, Argch et Argth à partir d’une valeur déjà obtenue. Le tracé, son échelle ou sa couleur ne définissent pas ces fonctions : seules les formules et leurs domaines le font.
A step-by-step example
Prenons comme argument le nombre x = ln(2). Les données sont ex = 2 et e−x = 1/2. Elles permettent de calculer les trois fonctions avec des fractions exactes.
1. La demi-somme vaut .
2. La demi-différence vaut .
3. Leur quotient vaut .
2. La demi-différence vaut .
3. Leur quotient vaut .
Le résultat associe donc à ln(2) le point P de coordonnées (5/4 ; 3/4) sur l’hyperbole unité. Aucun arrondi n’est nécessaire pour lire ces deux coordonnées. La figure rend visible cette paramétrisation par ch et sh.
4. Le contrôle consiste à reprendre l’identité fondamentale : . Les valeurs obtenues sont donc cohérentes avec l’équation de l’hyperbole.
In practice
Pour produire un point de l’hyperbole unité, choisissez un réel x puis calculez ch(x) et sh(x). Le couple obtenu convient directement, car la différence de ses carrés vaut 1. Pour le cercle unité, les fonctions trigonométriques circulaires sont l’alternative adaptée : le signe entre les carrés devient une addition.
Pour calculer sans touche dédiée, partez de ex et e−x. Leur demi-somme donne ch(x), leur demi-différence donne sh(x), puis leur quotient donne th(x). Cette voie est préférable lorsque seule l’exponentielle est disponible.
Pour retrouver l’argument, choisissez la fonction inverse qui correspond à la valeur connue. Argsh accepte tout réel ; Argch demande une valeur au moins égale à 1 ; Argth demande une valeur strictement comprise entre −1 et 1. Le domaine observable décide donc de la formule utilisable.
Not to be confused with
Fonctions hyperboliques et fonctions trigonométriques circulaires. Les premières paramétrisent l’hyperbole x² − y² = 1, tandis que les secondes paramétrisent le cercle x² + y² = 1. Le signe entre les carrés tranche : le point (5/4 ; 3/4) vérifie la relation hyperbolique, pas la relation circulaire.
Fonction inverse et inverse multiplicatif. Argsh annule l’action de sh en retrouvant son argument ; elle ne calcule pas 1/sh. Ainsi, puisque sh(ln 2) = 3/4, Argsh(3/4) = ln 2, alors que l’inverse multiplicatif de 3/4 vaut 4/3.
Limits and pitfalls
Sous le seuil de 1 pour Argch. La formule contient la racine carrée de u² − 1. Pour u = 3/4, cette quantité est négative : Argch(3/4) n’est donc pas définie comme fonction réelle. Il faut vérifier u ≥ 1 avant le calcul.
Aux bornes de l’intervalle pour Argth. La formule comporte le quotient (1 + u)/(1 − u). À u = 1, le dénominateur est nul ; à u = −1, le numérateur est nul et son logarithme réel n’est pas défini. Il faut rester strictement entre −1 et 1.
Une identité au signe trompeur. Écrire ch²(x) + sh²(x) = 1 mélange les relations circulaire et hyperbolique. Le contrôle correct est une soustraction. Avec x = ln 2, seule l’égalité 25/16 − 9/16 = 1 confirme les valeurs.
Further reading
hyperbole — Pour situer la courbe que le couple (ch(x), sh(x)) paramétrise.
fonction exponentielle — Pour approfondir la brique commune aux définitions de ch, sh et th.
fonction réciproque — Pour préciser le mécanisme par lequel Argsh, Argch et Argth retrouvent un argument.
fonction trigonométrique — Pour comparer la paramétrisation du cercle à celle de l’hyperbole.
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