nombre d'Erdös

Imaginez une chaîne de publications. Paul Erdős signe un article avec une première chercheuse, qui en signe un autre avec un deuxième chercheur. Erdős porte le nombre 0, sa coauteure le nombre 1 et le chercheur suivant le nombre 2. Le nombre d'Erdős compte donc le plus petit nombre de collaborations successives nécessaire pour rejoindre Erdős. Sans aucune chaîne de coauteurs jusqu'à lui, le nombre est infini.

Le nombre d'Erdős d'un chercheur est la longueur du plus court chemin qui le relie à Paul Erdős dans le graphe des cosignatures scientifiques. Dans ce graphe, chaque sommet représente un auteur et une arête relie deux auteurs lorsqu'ils ont cosigné un article de recherche. La longueur d'un chemin est le nombre d'arêtes qu'il emprunte.

Par convention, Erdős a le nombre 0. Ses 511 collaborateurs directs ont le nombre 1. Un auteur qui n'a pas le nombre 0 ou 1, mais qui a publié avec un auteur de nombre 1, a le nombre 2. La règle se poursuit par récurrence : le nombre attribué est toujours celui du chemin le plus court, et non celui d'une chaîne choisie au hasard. Si aucun chemin de cosignatures n'atteint Erdős, le nombre est infini.

Cette distance de collaboration est analogue aux degrés de séparation d'un réseau social, mais ses liens sont ici des cosignatures d'articles. Elle décrit ainsi la structure du réseau de collaborations mathématiques. Paul Erdős, mathématicien hongrois et auteur de plus de 1 500 articles scientifiques, est le sommet de référence. En 2008, la plus grande valeur connue parmi les mathématiciens encore en activité était 13.

Considérons un exemple fictif où chaque trait représente la cosignature d'un article de recherche. Données :
Paul Erdős a cosigné avec l'auteur A.
L'auteur A a cosigné avec l'auteur B.
L'auteur B a cosigné avec l'auteur C.
Un second chemin relie aussi Erdős à B, mais il passe par trois cosignatures.

Étape 1. Erdős reçoit le nombre 0 par définition.

Étape 2. Le chemin direct Erdős–A contient une arête. L'auteur A a donc le nombre 1.

Étape 3. Le chemin Erdős–A–B contient deux arêtes. Il est plus court que l'autre chemin annoncé, qui en contient trois : l'auteur B a le nombre 2.

Étape 4. En ajoutant l'arête B–C, le chemin Erdős–A–B–C compte trois cosignatures. L'auteur C a le nombre 3. Pour contrôler, on compte les traits depuis Erdős et l'on vérifie qu'aucun trajet comportant moins d'arêtes n'atteint l'auteur étudié.

Pour déterminer le nombre d'un auteur, on part de ses cosignatures et l'on remonte le réseau jusqu'à Erdős. Dès que plusieurs chaînes apparaissent, il faut toutes les comparer assez loin pour conserver celle qui comporte le moins d'arêtes.

Pour représenter un petit ensemble de collaborations, un graphe est plus utile qu'une simple liste : les auteurs deviennent des sommets et les cosignatures des arêtes. Les couches de nombres 0, 1, 2 et suivants rendent alors la distance à Erdős visible.

Lorsqu'aucune chaîne n'est trouvée, on n'attribue pas une grande valeur arbitraire. On note un nombre infini, ce qui signale que l'auteur appartient à une composante sans chemin connu vers Erdős.

Degrés de séparation dans un réseau social. Les deux notions comptent un plus court chemin, mais le critère du nombre d'Erdős est précis : chaque lien doit correspondre à la cosignature d'un article de recherche. Une simple connaissance commune peut créer un lien social, jamais une arête de ce graphe.

Nombre de coauteurs. Ce total compte les collaborateurs directs d'une personne, tandis que le nombre d'Erdős mesure sa distance minimale à un auteur de référence. Erdős a collaboré directement avec 511 chercheurs, mais son propre nombre reste 0.

Plusieurs chemins. Une longue chaîne valide ne suffit pas à fixer le nombre. Si un autre chemin comporte moins de cosignatures, c'est sa longueur qui l'emporte ; il faut donc rechercher le plus court chemin.

Composante déconnectée. Sans aucun chemin reliant un auteur à Erdős, la distance n'est pas un entier très élevé : elle est dite infinie. Il faut distinguer ce cas de celui où le chemin existe mais n'a pas encore été repéré dans les publications examinées.

Valeur historique. Le nombre 13 cité pour 2008 est la plus grande valeur alors connue parmi les mathématiciens encore en activité. Ce n'est ni un maximum théorique ni une valeur annoncée pour toute époque ; il faut conserver sa date et son périmètre.

Interprétation. Un petit nombre prouve l'existence d'une courte chaîne de cosignatures. Il ne mesure ni la proximité personnelle avec Erdős, ni la qualité des articles, ni le nombre total de collaborations du chercheur.

L'article Collaborer avec Paul Erdős replace la cosignature avec le mathématicien au cœur du sujet.

L'article Le mathématicien tisserand prolonge la réflexion sur la manière dont les collaborations relient les chercheurs.