I problemi di tassellazione, proprio come alcune grandi congetture dell’aritmetica, hanno di delizioso il fatto che persino un bambino di 5 anni possa comprenderli. In realtà sono di una difficoltà inaudita!
L’enunciato del problema è semplice: quali poligoni convessi tassellano il piano? Si considerano cioè copie di un poligono di base, senza rientranze né buchi, e si cerca di disporle nel piano senza sovrapporle né lasciare spazi vuoti. Le piastrelle di ceramica che adornano pavimenti o pareti ne sono un esempio. Per i poligoni regolari, ossia quelli con tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli della stessa ampiezza, si sa fin dall’antichità, e da Aristotele, che solo il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare tassellano il piano. Ma le piastrelle non sono tutte quadrate: esistono, per esempio, i rettangoli.
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Una piastrella matematica!
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In realtà tutti i triangoli tassellano il piano, così come tutti i quadrilateri. Nel 1918 Karl Reinhardt dimostrò, nella sua tesi di dottorato all’università di Francoforte, che soltanto tre famiglie di esagoni convessi tassellano il piano. Inoltre, nessun poligono convesso con più di sei lati può tassellare il piano. Resta da risolvere soltanto il caso del pentagono!
