Un biglietto gratuito verso le stelle: Newton | Tangente

Isaac Newton.

Sicuramente una delle più grandi figure scientifiche di tutti i tempi. La sua opera principale, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, apparve nel 1687. In questo libro di cinquecentocinquanta pagine in latino, nel quale pubblicò finalmente idee talvolta sviluppate vent’anni prima, fondò nientemeno che la meccanica classica, rivelando le forze di gravitazione e le leggi universali del moto, che modellò mediante equazioni matematiche, e gettò le basi del calcolo differenziale, permettendo di enunciare il principio fondamentale della dinamica, oggi insegnato in tutti i licei. Bisognerà tuttavia attendere il secolo dei Lumi e la conclusione di numerose controversie perché le idee rivoluzionarie di Newton si affermassero.

-

Dalla mela alla gravitazione ----------------------------

Secondo la leggenda (riferita dal biografo e amico di Newton William Stukeley, sulla base di una conversazione avuta nel 1726), fu verso il 1666 che lo scienziato britannico, allora ventiquattrenne, vedendo cadere una mela nel giardino di sua madre a Woolsthorpe-by-Colsterworth, in Inghilterra, ebbe un’intuizione geniale: la forza di attrazione che fa cadere la mela è la stessa che mantiene la Luna in orbita attorno alla Terra! Sta nascendo la teoria della gravitazione universale. Dedicandosi a calcoli numerici, Newton verifica che la sua intuizione corrisponde alle precedenti osservazioni di Galileo e Keplero. Postula quelle che oggi chiamiamo leggi di Newton. Con un colpo di genio matematico, riesce a dedurre da questo postulato che i pianeti seguono traiettorie ellittiche. Ritrova così le leggi di Keplero. Parallelamente ai lavori di Leibniz, anch’egli considerato cofondatore, nacque anche il calcolo infinitesimale, prefigurando le nozioni di limite e derivata che sarebbero state formalizzate più tardi da Augustin Louis Cauchy, Leonhard Eulero, Karl Weierstrass…

Straordinario l’atteggiamento di Newton che, partendo da osservazioni e dati numerici, ne ricava un modello astratto, lo analizza per confermare le osservazioni, poi lo estrapola, ottenendo così una conoscenza approfondita di un fenomeno naturale! I Principia Mathematica segnano certamente l’inizio della matematizzazione delle scienze e di quella che è la metodologia scientifica generale in matematica: osservare, modellizzare, analizzare, simulare, per prevedere, ottimizzare e controllare. Per la prima volta viene davvero messo in pratica il pensiero di Galileo: «La natura è un libro scritto in linguaggio matematico.»

L’approccio scientifico di Newton è infatti sorprendentemente moderno: accetta soltanto le relazioni matematiche scoperte mediante l’osservazione rigorosa dei fenomeni. «Hypotheses non fingo», amava ripetere («Non fingo ipotesi»).

Così, verso il 1666, Newton vuole confrontare con l’esperienza la legge di gravitazione che ha appena postulato. Purtroppo, le stime allora note della distanza Terra–Luna e del raggio terrestre sono troppo grossolane e, con i dati di cui dispone, trova che il nostro satellite dovrebbe cadere sulla Terra! Di fronte a questa divergenza, rinuncia provvisoriamente alla sua teoria. Solo sedici anni più tardi, nel 1682, apprende alla Royal Society di Londra che il francese Jean-Félix Picard (detto l’abate Picard, 1620–1682) ha appena determinato un valore molto più preciso del raggio terrestre. Con questo valore, Newton trova che la sua teoria è finalmente conforme alle osservazioni!

Siamo allora nella genesi dei Principia Mathematica. In quell’epoca il mondo scientifico è in fermento e l’idea di una forza di attrazione inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra due corpi è nell’aria, in particolare grazie ai lavori di Edmond Halley (1656–1742) e Robert Hooke (1635–1703). Hooke aveva formulato chiaramente il carattere universale di una forza di attrazione gravitazionale, ma non possedeva il genio matematico necessario a formalizzare rigorosamente le sue idee e a ritrovare le leggi di Keplero, in particolare il fatto che i pianeti seguono traiettorie ellittiche. I due compatrioti intrattennero un fitto carteggio, scontrandosi anche duramente…

Newton, che occupa una cattedra a Cambridge, riprese nel 1677 i lavori di Halley sulla meccanica celeste. Nel 1684, il giovane astronomo che avrebbe dato il proprio nome a una celebre cometa chiede a Newton quale traiettoria seguirebbe un corpo sottoposto a una forza inversamente proporzionale alla distanza. Questi risponde subito che si tratta di un’ellisse, come aveva calcolato vent’anni prima senza pubblicarlo. Invia al giovane astronomo alcune pagine che dimostrano questo fatto. Colpito, il suo interlocutore lo incoraggia a pubblicare e lo finanzia in parte.

-

Il ritorno della cometa ----------------------

I Principia Mathematica apparvero finalmente nel 1687. Newton ottenne allora grande riconoscimento internazionale. In Francia il riconoscimento sarebbe arrivato più tardi, perché prevaleva la teoria dei vortici di Cartesio, secondo la quale i pianeti si muovono in una sorta di etere che li mantiene in orbita… Si instaurarono inoltre controversie tra newtoniani da una parte e cartesiani dall’altra. Solo verso il 1750, soprattutto grazie agli sforzi di Pierre Louis Moreau de Maupertuis, Alexis Clairaut, Voltaire, Émilie du Châtelet e grazie all’Encyclopédie di Diderot e D’Alembert, la meccanica newtoniana fu infine adottata nel nostro paese. Nel 1759 il ritorno della cometa di Halley, previsto dalle teorie di Newton, ne assicurò il trionfo definitivo.

La comprensione delle leggi di Newton permette allora di formulare in un quadro matematico il celebre problema degli N corpi, che consiste nel risolvere le equazioni differenziali che regolano il moto di corpi interagenti gravitazionalmente. È un problema fondamentale in matematica e astronomia, che Newton cercò di risolvere senza successo quando N = 3. Un secolo più tardi, sulla scia dei lavori di Eulero, Joseph-Louis Lagrange studia il problema ristretto dei tre corpi, nel quale due corpi sono «molto massicci» (per esempio il Sole e la Terra) e il terzo ha massa «trascurabile» rispetto agli altri due (come una pietra, un asteroide, un veicolo spaziale). Dimostra che la dinamica di Newton, in un sistema di riferimento rotante, ammette cinque punti di equilibrio, oggi chiamati punti di Lagrange.

La proprietà di essere un punto di equilibrio è interessante: offre la possibilità di mantenere una posizione fissa rispetto a due corpi celesti e permette quindi di concepire siti di osservazione spaziale. Infatti, se un oggetto viene collocato esattamente in un punto di Lagrange, allora, almeno in teoria… vi rimane!

Diciamo proprio «in teoria», perché si pone allora la questione della stabilità locale di questi punti di equilibrio. Come nella figura, che rappresenta orbite (possibili traiettorie di una pietra nel sistema Sole–Terra), risulta che i punti L1, L2 e L3 sono intrinsecamente instabili, mentre i punti L4 e L5 sono stabili. Ciò significa che, in pratica, se collochiamo un sassolino vicino a uno dei punti L4 o L5, esso inizierà a derivare ma resterà in tale intorno. Al contrario, se lo collochiamo accanto a uno dei punti L1, L2 o L3, non resterà nel loro intorno.

«In teoria», se il sassolino è collocato esattamente nel punto L1, non si muove. Ma in pratica la minima perturbazione (vento solare, perturbazioni dovute ad altri corpi celesti…) lo farà allontanare dal punto L1 e quindi derivare, prima o poi. La situazione è simile a quella di un bastone appoggiato su un tavolo: quando è perfettamente verticale, resta in posizione, ma questo equilibrio è instabile. Alla minima perturbazione, cade.

-

Tenere un bastone in mano -------------------------

A prima vista, la proprietà di stabilità attorno a L4 e L5 può sembrare una buona notizia: se un veicolo spaziale viene collocato vicino a uno di questi punti, vi resterà. Ma, in realtà, attorno a questi punti gravitano grandi quantità di polvere e piccoli corpi celesti, rimasti «intrappolati» in questo pozzo di potenziale che, come una conca, con il susseguirsi dei casi astronomici, ha trattenuto questi asteroidi (fra cui i celebri asteroidi troiani nel sistema Sole–Giove), rendendo impossibile la presenza di un veicolo spaziale in questa zona a causa degli inevitabili urti che lo danneggerebbero rapidamente.

L’instabilità dei punti L1, L2 e L3 è dunque, in un certo senso, una buona notizia: sono siti «naturalmente puliti»! Ma per mantenere l’oggetto vicino a questi punti di Lagrange occorre ricorrere alla teoria matematica del controllo, e in particolare della stabilizzazione. Riprendiamo l’esempio del bastone, che ora cerchiamo di mantenere in equilibrio verticale su un dito o nel palmo della mano, anche a costo di muoverci un po’. Poiché l’equilibrio verticale è instabile, qui la stabilizzazione consiste nel consentirsi di muovere leggermente la mano (esercitando un controllo) così da compensare piccole variazioni attorno all’equilibrio e mantenere quindi il bastone attorno al suo equilibrio instabile. Nel caso di un veicolo spaziale vicino a un punto di Lagrange instabile, l’idea è che una lieve propulsione, fornita per esempio da pannelli solari, basti a mantenerlo nella zona di interesse. Ciò richiede poca energia.

I punti di Lagrange L1 e L2 del sistema Sole–Terra sono utilizzati da tempo dalle agenzie spaziali, che vi collocano numerosi veicoli. Per esempio, attorno al punto L1, situato a circa 1,5 milioni di chilometri dalla Terra in direzione del Sole, orbita dal 1996 il satellite SOHO, la cui missione è osservare la superficie della nostra stella, le sue macchie, le eruzioni solari… Attorno al punto L2 sarà lanciato, in linea di principio nel 2020, il successore del telescopio Hubble, chiamato JWST (James Webb Space Telescope), la cui posizione sarà ideale poiché non sarà disturbato dalla luce solare.

-

Traiettorie periodiche ----------------------

Utilizzando teoremi di Aleksandr Ljapunov, Henri Poincaré, poi la teoria dei sistemi dinamici sviluppata negli anni Sessanta, la matematica ha permesso di scoprire attorno ai punti di Lagrange proprietà insospettate del campo gravitazionale newtoniano, straordinariamente utili per l’elaborazione di missioni spaziali: attorno a ogni punto di Lagrange esistono moltissime traiettorie periodiche e quasi periodiche, le più note delle quali sono le orbite di alone (che sono deformazioni di cerchi). Vi si trovano anche tutte le possibili orbite di Lissajous. Queste sorprendenti proprietà sono dovute alla complessità del campo gravitazionale nel problema a più corpi. Le traiettorie corrispondenti sono interessanti perché è possibile stabilizzare un veicolo spaziale lungo tali orbite con un costo energetico molto basso.

L’aspetto più affascinante resta che ciascuna di queste orbite periodiche genera varietà invarianti (stabili o instabili). Si tratta di specie di tubi che poggiano sull’orbita periodica che li genera e si comportano come vere e proprie «correnti di gravità», simili alle correnti marine: se collochiamo un sassolino all’interno di un simile «tubo», esso inizierà a derivare, piuttosto lentamente, seguendo la corrente e restando nel tubo. Possiamo quindi approfittarne per spostarci in modo del tutto gratuito e perfettamente calcolabile, dunque prevedibile.

-

Viaggi a bassissimo costo -------------------------

La mappatura delle correnti di gravità permette allora di immaginare missioni spaziali interplanetarie quasi gratuite in termini di consumo energetico. Il low cost conquista anche le missioni spaziali interplanetarie! Tuttavia, analogamente alle correnti marine, il movimento lungo tali correnti è lento, dunque più adatto a missioni robotizzate. Oppure occorre combinarne l’effetto di trascinamento con l’uso di un motore…

Per esempio, utilizzando i punti di Lagrange L1 e L2 del sistema Terra–Luna e le correnti di gravità che generano, è possibile andare dalla Terra alla Luna in modo quasi «gratuito», purché si riesca naturalmente prima a sottrarsi all’attrazione terrestre. Una volta collocato il veicolo in un tubo invariante, sappiamo portarlo nelle vicinanze, circa 1 500 km, della superficie della Luna in tre o quattro mesi, senza alcun consumo di carburante! In un prossimo futuro, la comunità internazionale potrebbe così accordarsi per costruire una base lunare, probabilmente al Polo Nord della Luna, che fungerebbe da punto intermedio per missioni verso Marte.

In una prospettiva più avveniristica, sappiamo concepire missioni interplanetarie lontane, che permettono di visitare «a bassissimo costo» i satelliti di Giove o di Saturno. Il prezzo da pagare, però, è il tempo di percorrenza… Le missioni umane lontane non potranno dunque accontentarsi di utilizzare questa rete di correnti di gravità, ma possiamo inviare robot, che saranno allora in grado di esplorare i confini del sistema solare e forse oltre.

####

Questo testo è tratto dalla conferenza tenuta da Emmanuel Trélat mercoledì 23 gennaio 2019 alla Bibliothèque nationale de France, nell’ambito del ciclo «Un testo, un matematico».

Emmanuel Trélat è professore alla Sorbonne Université (Paris-VI) e dirige la Fondation Sciences mathématiques de Paris. Ha ricevuto numerosi premi, in particolare per aver progettato il software oggi utilizzato per i lanciatori Ariane.