Un billete gratis hacia las estrellas: Newton | Tangente

Isaac Newton.

Sin duda, una de las mayores figuras científicas de todos los tiempos. Su obra maestra, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, se publica en 1687. En este libro de quinientas cincuenta páginas, escrito en latín, donde por fin publica ideas desarrolladas en ocasiones veinte años antes, funda nada menos que la mecánica clásica, revelando las fuerzas de gravitación y las leyes universales del movimiento, que modeliza mediante ecuaciones matemáticas, y sienta las bases del cálculo diferencial, lo que permite enunciar el principio fundamental de la dinámica, enseñado hoy en todos los institutos. Sin embargo, habrá que esperar al Siglo de las Luces y al fin de numerosas controversias para que se impongan las ideas revolucionarias de Newton.

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De la manzana a la gravitación ----------------------------

Según la leyenda —recogida por el biógrafo y amigo de Newton William Stukeley, a partir de una conversación que mantuvieron en 1726—, fue hacia 1666 cuando el científico británico, entonces de 24 años, al ver caer una manzana en el jardín de su madre en Woolsthorpe-by-Colsterworth, Inglaterra, tuvo una intuición genial: ¡la fuerza de atracción que hace caer la manzana es la misma que mantiene a la Luna en órbita alrededor de la Tierra! La teoría de la gravitación universal está naciendo. Newton se lanza a realizar cálculos numéricos y comprueba que su intuición concuerda con las observaciones anteriores de Galileo y Kepler. Postula lo que hoy llamamos las leyes de Newton. Mediante una proeza matemática, logra deducir de este postulado que los planetas siguen trayectorias elípticas. Recupera así las leyes de Kepler. De este modo, paralelamente a los trabajos de Leibniz, considerado cofundador de esta disciplina, también está naciendo el cálculo infinitesimal, que prefigura las nociones de límite y derivada formalizadas más tarde por Augustin Louis Cauchy, Leonhard Euler, Karl Weierstrass…

¡Qué actitud tan extraordinaria la de Newton, que, partiendo de observaciones y datos numéricos, extrae de ellos un modelo abstracto, lo analiza para confirmar las observaciones y luego lo extrapola, obteniendo así una comprensión precisa de un fenómeno natural! Los Principia Mathematica marcan sin duda el inicio de la matematización de las ciencias y de lo que constituye el método científico general en matemáticas: observar, modelizar, analizar, simular, con el fin de prever, optimizar y controlar. Por primera vez se pone realmente en práctica el pensamiento de Galileo: «La naturaleza es un libro escrito en lenguaje matemático.»

El enfoque científico de Newton resulta, en efecto, sorprendentemente moderno: solo acepta las relaciones matemáticas descubiertas mediante la observación rigurosa de los fenómenos. «Hypotheses non fingo», le gusta repetir («No finjo hipótesis»).

Así, hacia 1666, Newton quiere contrastar con la experiencia la ley de gravitación que acaba de postular. Por desgracia, las estimaciones conocidas entonces de la distancia entre la Tierra y la Luna y del radio terrestre son demasiado imprecisas y, con los datos de que dispone, ¡encuentra que nuestro satélite debería caer sobre la Tierra! Ante esta discrepancia, renuncia provisionalmente a su teoría. Solo dieciséis años después, en 1682, se entera en la Royal Society de Londres de que el francés Jean-Félix Picard —conocido como el abad Picard, 1620–1682— acaba de determinar un valor mucho más preciso del radio terrestre. Con este valor, Newton descubre que su teoría concuerda finalmente con las observaciones.

Estamos entonces en los inicios de los Principia Mathematica. En esa época, el mundo científico está en plena efervescencia y la idea de una fuerza de atracción inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre dos cuerpos está en el ambiente, especialmente gracias a los trabajos de Edmond Halley (1656–1742) o Robert Hooke (1635–1703). Hooke había formulado claramente el carácter universal de una fuerza de atracción gravitatoria, pero no poseía el genio matemático de Newton que le habría permitido formalizar rigurosamente sus ideas y recuperar las leyes de Kepler, en particular el hecho de que los planetas siguen trayectorias elípticas. Los dos compatriotas mantendrán una abundante correspondencia y también se enfrentarán violentamente…

Newton, que ocupa una cátedra en Cambridge, retomó en 1677 los trabajos de Halley sobre mecánica celeste. En 1684, el joven astrónomo que daría su nombre a un famoso cometa pregunta a Newton qué trayectoria seguiría un cuerpo sometido a una fuerza inversamente proporcional a la distancia. Este le responde de inmediato que se trata de una elipse, como había calculado veinte años antes sin publicarlo. Hace llegar al joven astrónomo unas páginas que demuestran este hecho. Impresionado, su interlocutor lo anima a publicar y financia parcialmente la publicación.

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El regreso del cometa ----------------------

Los Principia Mathematica se publican por fin en 1687. Newton alcanza entonces un gran reconocimiento internacional. En Francia, el reconocimiento llegará más tarde, pues prevalece la teoría de los torbellinos de Descartes, según la cual los planetas se desplazan en una especie de éter que los mantiene en su órbita… Se entablan, por otra parte, controversias entre los newtonianos, por un lado, y los cartesianos, por otro. Solo hacia 1750, en particular gracias a los esfuerzos de Pierre Louis Moreau de Maupertuis, Alexis Clairaut, Voltaire, Émilie du Châtelet y a la Enciclopedia de Diderot y D’Alembert, la mecánica newtoniana será finalmente adoptada en Francia. En 1759, el regreso del cometa Halley, previsto por las teorías de Newton, asegura su triunfo definitivo.

La comprensión de las leyes de Newton permite entonces plantear en un marco matemático el célebre problema de los N cuerpos, que consiste en resolver las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de cuerpos que interactúan gravitatoriamente. Es un problema fundamental en matemáticas y astronomía que Newton intentó resolver, sin éxito, cuando N = 3. Un siglo después, siguiendo los trabajos de Euler, Joseph-Louis Lagrange estudia el problema restringido de los tres cuerpos, en el que dos cuerpos son «muy masivos» —por ejemplo, el Sol y la Tierra— y el tercero tiene una masa «despreciable» respecto de los otros dos —como una piedra, un asteroide o una nave espacial—. Demuestra que la dinámica de Newton, en un sistema de referencia giratorio, admite cinco puntos de equilibrio, llamados desde entonces puntos de Lagrange.

La propiedad de ser un punto de equilibrio resulta interesante: ofrece la posibilidad de disponer de una configuración fija con respecto a dos cuerpos celestes y permite, por tanto, concebir emplazamientos de observación espacial. En efecto, si se coloca un objeto exactamente en un punto de Lagrange, entonces —al menos en teoría…— ¡permanece allí!

Decimos «en teoría» porque se plantea entonces la cuestión de la estabilidad local de estos puntos de equilibrio. Como en la figura, donde se representan órbitas —trayectorias posibles de una piedra en el sistema Sol–Tierra—, resulta que los puntos L1, L2 y L3 son naturalmente inestables, mientras que los puntos L4 y L5 son estables. Esto significa que, en la práctica, si colocamos una piedra cerca de uno de los puntos L4 o L5, empezará a derivar, pero permanecerá en esa vecindad. En cambio, si la colocamos justo al lado de uno de los puntos L1, L2 o L3, no permanecerá en su vecindad.

«En teoría», si la piedra se sitúa exactamente en el punto L1, no se mueve. Pero, en la práctica, la más mínima perturbación —viento solar, perturbaciones debidas a otros cuerpos celestes…— hará que abandone el punto L1 y, por tanto, que derive a más o menos largo plazo. La situación es similar a la de una varilla colocada sobre una mesa: cuando está exactamente vertical, permanece en su posición, pero este equilibrio es inestable. A la menor perturbación, cae.

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Sostener una varilla en la mano ---------------------------

A primera vista, la estabilidad alrededor de L4 y L5 puede parecer una buena noticia: si colocamos una nave espacial cerca de uno de estos puntos, permanecerá allí. Pero, en realidad, alrededor de estos puntos gravitan gran cantidad de polvo y pequeños cuerpos celestes que han quedado «atrapados» en este pozo de potencial que, como un cuenco, ha retenido estos asteroides a medida que se sucedían los azares astronómicos —entre ellos los famosos asteroides troyanos del sistema Sol–Júpiter—, lo que hace imposible la presencia de una nave espacial en esta zona debido a los inevitables impactos que la dañarían rápidamente.

La inestabilidad de los puntos L1, L2 y L3 es, por tanto, en cierto sentido, una buena noticia: ¡son emplazamientos «naturalmente limpios»! Pero, para mantener el objeto cerca de estos puntos de Lagrange, es necesario recurrir a la teoría matemática del control y, en particular, a la estabilización. Retomemos el ejemplo de la varilla, que ahora intentamos mantener en equilibrio vertical sobre un dedo o en la palma de la mano, aunque haya que moverla un poco. Como el equilibrio vertical es inestable, la estabilización consiste aquí en permitirse mover ligeramente la mano —eso es hacer control— para compensar pequeñas variaciones alrededor del equilibrio y mantener así la varilla cerca de su equilibrio inestable. En el caso de una nave espacial cerca de un punto de Lagrange inestable, la idea es que una ligera propulsión —proporcionada, por ejemplo, por paneles solares— basta para mantenerla en la zona de interés. Esto requiere poca energía.

Los puntos de Lagrange L1 y L2 del sistema Sol–Tierra son utilizados desde hace mucho tiempo por las agencias espaciales, que sitúan allí numerosas naves. Por ejemplo, alrededor del punto L1 —situado a unos 1,5 millones de kilómetros de la Tierra en dirección al Sol— orbita desde 1996 el satélite SOHO, cuya misión es observar la superficie de nuestro astro, sus manchas y las erupciones solares… Alrededor del punto L2 se lanzará, en principio en 2020, el sucesor del telescopio Hubble, llamado JWST (James Webb Space Telescope), cuya posición será ideal, pues no se verá afectado por la luz solar.

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Trayectorias periódicas ----------------------------

Mediante teoremas de Alexandre Lyapunov y Henri Poincaré, y después gracias a la teoría de los sistemas dinámicos desarrollada en los años sesenta, las matemáticas han permitido descubrir en torno a los puntos de Lagrange propiedades insospechadas del campo gravitatorio newtoniano, extraordinariamente útiles para diseñar misiones espaciales: alrededor de cada punto de Lagrange existe una multitud de trayectorias periódicas y cuasiperiódicas, entre las que las más conocidas son las órbitas de halo —que son deformaciones de círculos—. También se encuentran órbitas de Lissajous. Estas sorprendentes propiedades se deben a la complejidad del campo gravitatorio en el problema de varios cuerpos. Las trayectorias correspondientes resultan interesantes porque es posible estabilizar una nave espacial a lo largo de tales órbitas con un coste energético muy bajo.

Lo más fascinante es que cada una de estas órbitas periódicas genera variedades invariantes —estables o inestables—. Son una especie de tubos que se apoyan en la órbita periódica que los genera y se comportan como auténticas «corrientes de gravedad», similares a las corrientes marinas: si dejamos una piedra dentro de uno de estos «tubos», empezará a derivar —bastante despacio— siguiendo la corriente, sin salir del tubo. Podemos aprovecharlos, por tanto, para desplazarnos de manera totalmente gratuita y perfectamente calculable, y por ello predecible.

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Viajes a muy bajo coste ---------------------------

La cartografía de las corrientes de gravedad permite así concebir misiones espaciales interplanetarias casi gratuitas en términos de consumo energético. ¡El low cost también llega a las misiones espaciales interplanetarias! Sin embargo, al igual que las corrientes marinas, el desplazamiento a lo largo de tales corrientes es lento y, por tanto, más adecuado para misiones robotizadas. O bien hay que combinar su efecto de arrastre con el uso de un motor…

Por ejemplo, utilizando los puntos de Lagrange L1 y L2 del sistema Tierra–Luna y las corrientes de gravedad que generan, es posible viajar de la Tierra a la Luna de forma casi «gratuita», salvo que, naturalmente, primero hay que escapar de la atracción terrestre. Una vez situada la nave en un tubo invariante, podemos llevarla hasta las proximidades —unos 1 500 km— de la superficie lunar en tres o cuatro meses, ¡sin gasto alguno de combustible! En un futuro próximo, la comunidad internacional podría acordar construir una base lunar —probablemente en el polo norte de la Luna— que serviría de escala para misiones hacia Marte.

De forma más prospectiva, es posible diseñar misiones interplanetarias lejanas que permiten visitar «a muy bajo coste» los satélites de Júpiter o Saturno. El precio que hay que pagar, sin embargo, es el tiempo de viaje… Por tanto, las misiones humanas lejanas no podrán limitarse a utilizar esta red de corrientes de gravedad, pero sí podremos enviar robots capaces de explorar los confines del sistema solar y, quizá, más allá.

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Este texto procede de la conferencia impartida por Emmanuel Trélat el miércoles 23 de enero de 2019 en la Biblioteca Nacional de Francia, dentro del ciclo «Un texto, un matemático».

Emmanuel Trélat es profesor de la Universidad de la Sorbona (París-VI) y dirige la Fundación de Ciencias Matemáticas de París. Ha recibido numerosos premios, en particular por haber diseñado el programa informático utilizado actualmente en los lanzadores Ariane.