akari

Imaginez une pièce découpée en couloirs par des murs noirs. Une ampoule posée sur une case blanche envoie sa lumière horizontalement et verticalement, mais un mur arrête le faisceau. Il faut éclairer chaque case blanche sans que deux ampoules se voient.

Les nombres inscrits sur certains murs ajoutent des indices locaux : ils fixent combien d'ampoules doivent toucher la case noire. Résoudre un Akari revient donc à croiser ces indices avec les zones encore sombres.

Un Akari est un puzzle de satisfaction de contraintes sur une grille de cases blanches et noires. Une ampoule ne peut occuper qu'une case blanche. Elle éclaire sa propre case, puis toutes les cases blanches visibles dans les quatre directions horizontale et verticale. Une case noire interrompt la lumière.

Une solution doit respecter simultanément trois types de conditions. Toutes les cases blanches sont éclairées. Deux ampoules ne partagent jamais un même segment visible de ligne ou de colonne. Enfin, lorsqu'une case noire porte un nombre de 0 à 4, ce nombre est exactement celui des ampoules placées dans les cases qui la touchent par un côté. Une case noire sans nombre bloque la lumière, mais n'impose aucun compte d'ampoules.

Le raisonnement combine ainsi une information locale, donnée par les nombres, et une exigence globale, l'éclairage de toute la grille. Le placement final est valide seulement si aucune de ces conditions n'est sacrifiée.

La grille proposée permet de contrôler une solution complète sans supposer qu'elle est unique.
Données. La grille comporte 5 lignes et 5 colonnes. Les cases noires sont (2, 2), (2, 4), (4, 2) et (4, 4) ; elles portent respectivement les nombres 2, 1, 1 et 0. Les ampoules proposées occupent (1, 5), (2, 3), (3, 2) et (5, 1).
1. Autour des quatre cases noires, on compte respectivement 2, 1, 1 et 0 ampoule : chaque nombre est respecté.
2. Les cases noires séparent les segments utiles. Aucune paire d'ampoules ne partage donc une ligne ou une colonne sans obstacle noir.
3. L'ampoule (1, 5) éclaire la colonne 5 ; celle de (2, 3), la colonne 3 ; celle de (3, 2), la ligne 3 ; celle de (5, 1), la ligne 5 et la colonne 1. Leurs faisceaux couvrent aussi la ligne 1 et les cases blanches restantes.
Contrôle. Les 21 cases blanches sont éclairées, et les quatre contraintes sont satisfaites.

Devant une case noire numérotée, comparez le nombre demandé avec les ampoules déjà adjacentes et les places encore disponibles. Si le quota est atteint, les autres voisines sont interdites aux ampoules.

Quand une case blanche reste sombre, suivez son segment horizontal puis son segment vertical jusqu'aux cases noires. Si une seule position peut l'éclairer sans créer de conflit, cette position reçoit une ampoule.

Après chaque placement, contrôlez séparément la visibilité entre ampoules, les nombres noirs et l'éclairage complet. Ce triple contrôle évite qu'une décision localement correcte invalide ailleurs la grille.

Akari et simple couverture d'une grille. Couvrir toutes les cases blanches ne suffit pas à résoudre un Akari. Le critère qui tranche est la compatibilité simultanée des placements : deux ampoules visibles l'une de l'autre rendent la proposition invalide, même si toute la grille est éclairée. Les nombres des cases noires doivent également être respectés exactement.

Une case éclairée n'est pas forcément une case occupée. Le symptôme du piège est l'ajout d'une ampoule sur chaque case sombre examinée isolément. Il faut d'abord chercher si une ampoule placée plus loin sur le même segment peut l'éclairer.

Le nombre décrit un voisinage, pas un faisceau. Une case noire marquée 0 interdit toute ampoule sur ses voisines par un côté ; elle n'interdit pas qu'une de ces cases soit éclairée depuis une autre direction. Pour un nombre de 1 à 4, comptez uniquement les ampoules adjacentes à la case noire.

Une case noire non numérotée n'a pas de quota. Elle arrête toujours la lumière, mais son voisinage n'impose aucun total. Lui attribuer implicitement 0 supprime donc des placements qui peuvent être valides.

Une configuration valide n'établit pas à elle seule l'unicité. Le contrôle des quatre contraintes prouve que le placement est une solution. Pour affirmer qu'il est le seul, il faut encore exclure toute autre disposition d'ampoules satisfaisant les mêmes contraintes.

L'Akari fournit un exemple concret de satisfaction de contraintes : chaque placement possible peut être vu comme un choix, puis les règles éliminent les combinaisons incompatibles. Cette lecture relie le puzzle à la combinatoire, qui étudie notamment comment organiser et dénombrer des configurations sous contraintes.