carré de Mac Mahon

Imaginez 24 petits carrés dont chaque bord est rouge, jaune ou noir. On peut tourner un carreau, puis le poser contre un autre. Le contact est autorisé seulement si les deux bords qui se touchent ont la même couleur.

Le défi ne dépend donc pas du dessin au centre, mais de quatre informations portées par le pourtour. Un raccord jaune peut sembler prometteur et pourtant empêcher les raccords suivants : chaque choix local agit sur le reste de l'assemblage.

Un carré de Mac Mahon est un carreau carré dont chacun des quatre côtés reçoit l'une de trois couleurs. La collection complète comporte 24 carreaux : elle retient un représentant de chaque coloration possible lorsque deux colorations obtenues l'une de l'autre par rotation sont considérées comme identiques. Avec trois choix sur quatre côtés orientés, il existe 3⁴ = 81 écritures, mais les symétries de rotation les regroupent en 24 types.

Pour construire un assemblage, on choisit l'orientation de chaque carreau. Deux carreaux qui ont un côté commun sont compatibles si la couleur portée par ce côté est la même des deux côtés de la séparation. Cette règle s'applique à chaque contact intérieur. Les côtés situés sur le contour ne sont soumis à aucune couleur particulière, sauf si le défi choisi ajoute lui-même une contrainte de bord.

La notion combine ainsi un inventaire fini de motifs et une règle locale d'adjacence. Elle permet d'explorer des classements, des pavages et des recherches systématiques, tout en conservant un support géométrique manipulable.

On veut former un carré 2 × 2 avec quatre carreaux distincts. Les couleurs sont données dans l'ordre haut, droite, bas, gauche.
Données :
A : rouge, jaune, noir, rouge.
B : noir, rouge, jaune, jaune.
C : noir, rouge, jaune, noir.
D : jaune, rouge, rouge, rouge.

1. Placez A en haut à gauche et B en haut à droite. Le bord droit jaune de A rencontre le bord gauche jaune de B : le premier raccord convient.

2. Placez C sous A. Le bord bas noir de A rencontre le bord haut noir de C : le deuxième raccord convient.

3. Placez D sous B et à droite de C. Son bord haut jaune s'accorde avec le bord bas jaune de B. Son bord gauche rouge s'accorde aussi avec le bord droit rouge de C.

4. Le contrôle porte sur les quatre contacts intérieurs : jaune, noir, jaune et rouge. Chacun présente la même couleur de part et d'autre ; l'assemblage 2 × 2 respecte donc la règle.

Avec des carreaux matériels, on commence par repérer les couleurs déjà imposées par les pièces posées. On tourne ensuite un carreau jusqu'à faire coïncider tous ses côtés en contact, pas seulement le premier. Si aucun carreau ne convient, on revient sur un choix antérieur plutôt que de forcer un raccord.

Dans une activité de combinatoire, on peut classer les colorations en faisant tourner les carrés. Ce classement en 24 types convient lorsque l'orientation ne crée pas un nouveau carreau. Si l'orientation doit compter, la liste des 81 colorations ordonnées répond à une autre convention.

Pour vérifier un assemblage, on inspecte chaque séparation intérieure une seule fois. Une vérification ligne par ligne ou colonne par colonne évite d'oublier un contact. Si le défi impose aussi une couleur sur le contour, ce contrôle supplémentaire doit être annoncé séparément.

Un puzzle à pièces découpées. Dans un puzzle classique, la forme des pièces et une image continue guident l'assemblage. Ici, deux côtés droits peuvent se toucher uniquement si leurs couleurs concordent. Deux bords de couleurs différentes tranchent immédiatement, même si les carrés sont bien alignés.

Un carré magique. Un carré magique organise des nombres et se contrôle par des sommes. Un carré de Mac Mahon porte des couleurs sur ses côtés et se contrôle par les contacts. Une grille dont les lignes ont une même somme ne répond donc pas, pour cette seule raison, à la règle de Mac Mahon.

Compter 81 au lieu de 24. Les 81 suites de quatre couleurs distinguent le haut, la droite, le bas et la gauche. Or une rotation ne crée pas un nouveau type de carreau dans la collection. Il faut donc regrouper les suites qui décrivent le même carré tourné.

Diviser simplement 81 par 4. Ce calcul échoue, car certains motifs ont moins de quatre orientations distinctes. Le carreau monochrome, par exemple, reste inchangé après toute rotation. Le décompte doit tenir compte de ces symétries et conduit bien à 24 types.

Valider seulement les premiers raccords. Un placement peut respecter tous ses voisins déjà posés et bloquer la suite. Le symptôme est une position vide pour laquelle aucun carreau restant ne convient. Il faut alors revenir au dernier choix qui offrait une autre orientation ou une autre pièce.

Ajouter une contrainte de contour sans la dire. La règle de base porte sur deux carreaux adjacents. Exiger un bord extérieur monochrome constitue un défi supplémentaire. Il faut annoncer cette condition avant de juger l'assemblage.

L'analyse combinatoire fournit un cadre pour classer les colorations, tenir compte des rotations et organiser une recherche sans recompter plusieurs fois le même motif. Elle éclaire ainsi le passage de 81 colorations orientées à 24 types.