pavage de Truchet

Imaginez un carré coupé par une diagonale : un triangle est noir, l'autre jaune. Faites tourner ce carreau d'un quart de tour, puis alignez-en plusieurs exemplaires. Les mêmes pièces produisent aussitôt des lignes brisées, des diagonales et des zones colorées différentes.

Le pavage de Truchet naît de cette règle locale très courte : la grille reste fixe, mais l'orientation de chaque carreau peut changer. La richesse du dessin vient donc de la combinaison des orientations, et non d'une multiplication des formes de base.

Dans sa forme historique décrite ici, un pavage de Truchet recouvre le plan par une grille de carrés identiques. Chaque carré est partagé par l'une de ses diagonales en deux triangles rectangles isocèles de même aire, coloriés avec deux couleurs distinctes. Une rotation du carreau place le triangle d'une couleur dans l'un des quatre coins du carré : il existe donc quatre orientations visibles pour ce carreau bicolore.

La donnée d'une orientation pour chaque case suffit à construire un motif. Les bords des carrés restent alignés ; seules la diagonale intérieure et la position des deux couleurs varient. Deux carreaux voisins n'ont pas besoin de porter la même couleur le long de leur côté commun : la règle source porte sur la forme et l'orientation des carreaux, pas sur une condition d'accord entre voisins.

Le nom vient du Père Sébastien Truchet, savant français qui a étudié les pavages de façon théorique parmi d'autres travaux en mécanique, typographie et arts décoratifs. L'usage actuel du terme est plus large : certaines familles dites de Truchet conservent la grille carrée et le jeu d'orientations, sans reprendre exactement le carreau diagonal bicolore.

Construisons une grille de 4 × 4, soit 16 carreaux. Chaque carreau est noir et jaune, séparé par une diagonale. On code les quatre orientations par le coin occupé par le triangle noir : haut gauche, haut droit, bas droit ou bas gauche. Le dessin annoncé montre ces quatre possibilités sur la première ligne.

1. Placez sur la première ligne les quatre orientations dans l'ordre : haut gauche, haut droit, bas droit, bas gauche.

2. Placez sur la deuxième ligne l'ordre inverse. Sur la troisième, alternez haut gauche et bas droit ; sur la quatrième, alternez haut droit et bas gauche.

3. Comptez les orientations : chacune apparaît exactement 4 fois, pour un total de 4 + 4 + 4 + 4 = 16 carreaux.

4. Si chaque case de la grille pouvait recevoir indépendamment l'une des quatre orientations, le nombre de grilles codées serait $4^{16}=42949672964^\{16\}=4\backslash ,294\backslash ,967\backslash ,296$. Ce total compte des dispositions distinctes case par case, même lorsque certaines se correspondent par rotation ou symétrie.

Le contrôle est double : la grille contient bien 16 cases et le relevé des coins noirs donne quatre occurrences de chaque orientation.

Pour dessiner un motif à la main, quadrillez une feuille, partagez chaque case par une diagonale et choisissez le triangle à colorier. Une grille régulière est préférable à un placement libre lorsque l'on veut isoler l'effet des orientations.

Pour produire des variantes, attribuez à chaque case l'un des quatre coins noirs, puis changez une orientation à la fois. Cette méthode est préférable à un nouveau dessin complet lorsque l'on veut observer l'effet local d'un seul carreau.

Pour un motif décoratif régulier, répétez un petit bloc d'orientations. Pour favoriser une apparence moins périodique, choisissez les orientations indépendamment : cela ne garantit pas l'absence de répétitions. Vérifiez ensuite qu'aucun bloc ne se répète à courte distance.

Pavage carré et pavage de Truchet. Une grille de carrés unis est un pavage carré, mais elle ne porte pas le motif interne orientable caractéristique. Dans l'exemple, la diagonale bicolore de chaque case permet de trancher.

Damier et pavage de Truchet. Un damier alterne la couleur de carrés entiers selon leur position. Ici, chaque carré contient les deux couleurs et c'est son orientation qui change : une case jaune ou noire uniforme ne suit donc pas la même règle.

Le sens moderne est plus large que le modèle historique. Le symptôme est un motif appelé « de Truchet » dont les pièces carrées ne sont pas simplement deux triangles colorés. Il faut alors décrire la tuile et ses orientations au lieu de supposer la diagonale bicolore.

Quatre orientations ne signifient pas quatre motifs. Dès qu'une grille comporte plusieurs cases, les choix se combinent. Pour 16 cases indépendantes, on obtient 4¹⁶ grilles codées ; il faut annoncer si des grilles reliées par rotation ou symétrie sont comptées séparément.

Une grille finie n'est pas tout le plan. Le carré de 4 × 4 de l'exemple est un extrait ou un motif répétable. Pour parler d'un pavage du plan, il faut préciser comment la règle se prolonge sans laisser de trou ni provoquer de recouvrement.

La couleur seule ne fixe pas l'orientation. Deux carreaux contiennent chacun autant de noir que de jaune, mais leurs diagonales ou leurs coins noirs peuvent différer. Il faut relever la diagonale et la position du triangle coloré, pas seulement les proportions de couleurs.

Truchet Sébastien — Situer le savant auquel cette famille de pavages doit son nom.

pavage équilatéral — Comparer le jeu d'orientations de Truchet avec une autre famille de pavages géométriques.