Archytas de Tarente

Vers 430-350 av. J.-C., Archytas vit à Tarente et y exerce aussi un rôle politique de premier plan : il en est le chef à six reprises. Ce philosophe et mathématicien pythagoricien étudie des questions qui relient nombres et formes.

Son exemple le plus frappant est le doublement d'un cube. Doubler la longueur de son arête multiplierait le volume par huit ; il faut donc chercher une nouvelle longueur plus petite que 2. Archytas obtient cette longueur grâce à une construction dans l'espace où se rencontrent un cylindre, un cône et un tore.

Archytas de Tarente est un philosophe et mathématicien pythagoricien de l'Antiquité, situé vers 430-350 av. J.-C. Ses travaux mentionnés par la source couvrent la mécanique, l'harmonie musicale et la théorie des proportions. Ses recherches musicales l'amènent notamment aux progressions géométriques et à la moyenne proportionnelle. Dans une progression géométrique, chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même rapport.

Pour deux nombres positifs donnés, une moyenne proportionnelle est un nombre qui forme le même rapport avec chacun d'eux. Dans le problème de la duplication du cube, deux moyennes sont utiles. Si le cube initial a pour arête 1, on cherche deux longueurs positives, notées x et y, telles que les trois rapports successifs soient égaux : $1\mathrm{/}x=x\mathrm{/}y=y\mathrm{/}21/x=x/y=y/2$. Ces égalités entraînent $x^3=2x^3=2$ : x est donc l'arête du cube de volume double.

La solution attribuée à Archytas construit cette relation dans l'espace par l'intersection d'un cylindre, d'un cône et d'un tore. Le personnage ne se réduit cependant pas à ce résultat : la source lui attribue aussi un rôle politique majeur à Tarente, exercé à six reprises. Elle mentionne enfin des attributions mécaniques prudentes : la poulie lui est parfois attribuée, ainsi qu'une forme de vis sans fin, mais cette dernière est généralement associée à Archimède.

Partons d'un cube dont l'arête mesure 1 unité et dont le volume vaut donc 1 unité cube. Nous voulons construire un cube de volume 2. Les données sont l'arête initiale 1, le volume visé 2 et deux longueurs positives inconnues, notées x et y.

La progression associée comporte quatre termes, 1, x, y et 2, avec un même rapport entre deux termes consécutifs. La figure rend visibles ces quatre longueurs et leur croissance régulière.

1. On impose l'égalité des trois rapports : $1\mathrm{/}x=x\mathrm{/}y=y\mathrm{/}21/x=x/y=y/2$.
2. De $1\mathrm{/}x=x\mathrm{/}y1/x=x/y$, on déduit $y=x^{2}y=x^2$.
3. De $x\mathrm{/}y=y\mathrm{/}2x/y=y/2$, on déduit $2x=y^{2}2x=y^2$.
4. En remplaçant y par x², on obtient $2x=x^{4}2x=x^4$. Comme x est positif, $x^3=2x^3=2$.

Le résultat est $x=\sqrt[3]{2}\approx \mathrm{1,2599}x=\backslash sqrt[3]\{2\}\backslash approx1\{,\}2599$ unité, et $y=\sqrt[3]{4}\approx \mathrm{1,5874}y=\backslash sqrt[3]\{4\}\backslash approx1\{,\}5874$ unité. Le contrôle refaisable consiste à élever l'arête cherchée au cube : $(\sqrt[3]{2}{)}^3=2(\backslash sqrt[3]\{2\})^3=2$. Le nouveau cube a bien un volume exactement double.

Pour étudier le problème de la duplication du cube, on peut partir du volume visé et retrouver l'arête nécessaire. Une extraction numérique de racine cubique donne une approximation ; la démarche par deux moyennes proportionnelles est préférable lorsque l'on veut saisir le lien historique entre proportion et construction géométrique.

Dans une histoire des mathématiques, Archytas permet de rapprocher trois domaines présents dans la source : rapports numériques, harmonie musicale et géométrie dans l'espace. Une présentation centrée seulement sur la biographie convient pour situer l'homme ; la chaîne 1, ∛2, ∛4, 2 devient plus utile dès que l'on veut refaire le raisonnement.

Pour lire une attribution technique, il faut conserver le degré de certitude du texte. La poulie est parfois attribuée à Archytas. Pour la forme de vis sans fin, l'association généralement retenue va plutôt à Archimède : mieux vaut donc présenter cette mention comme discutée, et non comme un fait établi.

Archytas et Archimède. La source présente Archytas comme un pythagoricien actif vers 430-350 av. J.-C. Elle précise que la forme de vis sans fin parfois portée à son crédit est généralement associée à Archimède. Cette réserve suffit à ne pas confondre attribution possible et attribution usuelle.

Doubler une arête et doubler un volume. Un cube d'arête 1 a un volume 1. Avec une arête 2, son volume devient 8, et non 2. Pour doubler le volume, l'arête doit être multipliée par ∛2, soit environ 1,2599.

Moyenne proportionnelle et moyenne arithmétique. Entre 1 et 2, la moyenne arithmétique vaut 1,5. La moyenne proportionnelle vaut √2, car le rapport entre 1 et √2 égale celui entre √2 et 2. Le critère décisif est donc l'égalité des rapports, pas celle des écarts.

Les dates sont approximatives. La source situe Archytas vers 430-350 av. J.-C. Le mot « vers » signale que ces bornes ne doivent pas être transformées en années certaines. Il faut conserver cette approximation dans une chronologie.

Un dessin en deux dimensions ne reproduit pas la construction d'Archytas. Sa solution est tridimensionnelle et fait intervenir l'intersection d'un cylindre, d'un cône et d'un tore. Un schéma plan peut aider à suivre les rapports, mais il ne suffit pas à restituer cette intersection spatiale.

Les décimales ne sont pas les longueurs exactes. Les valeurs 1,2599 et 1,5874 sont des arrondis. Dans les égalités et les contrôles exacts, il faut conserver ∛2 et ∛4 ; les écritures décimales servent seulement à situer leur taille.

La construction géométrique n'épuise pas le personnage. Réduire Archytas à la duplication du cube ferait disparaître ses travaux sur la mécanique, l'harmonie musicale et les proportions, ainsi que son rôle politique à Tarente. Une notice complète doit maintenir ensemble ces domaines sans leur prêter de dates plus précises que la source.

La fiche duplication du cube approfondit le problème géométrique auquel Archytas apporte une solution tridimensionnelle.

La fiche Archimède permet de distinguer les deux savants et de replacer l'attribution généralement retenue pour la vis sans fin.