dévolution

Un enseignant donne 24 carreaux et demande de former un rectangle dont le contour est le plus court. Il ne révèle ni la disposition gagnante ni la procédure. Les élèves essaient, comptent les côtés et comparent leurs résultats.

La dévolution a lieu lorsque le problème devient leur problème : ils cherchent parce que les essais et les mesures posent une question, pas seulement pour deviner la réponse attendue. L'enseignant reste à l'origine de la situation, mais il laisse aux élèves la responsabilité des décisions mathématiques.

En didactique des mathématiques, la dévolution est le processus par lequel l'enseignant fait accepter à l'élève la responsabilité cognitive d'une situation d'apprentissage. L'élève doit alors prendre des décisions et construire des réponses pour des raisons issues du problème, et non pour satisfaire ce qu'il suppose être l'attente du professeur.

L'enseignant organise intentionnellement un milieu, c'est-à-dire les objets, règles, informations et rétroactions avec lesquels l'élève agit. Il vise une situation dite a-didactique : pendant la recherche, le contrat didactique ne livre pas directement la procédure ou la connaissance attendue. La situation demeure pourtant construite dans un but d'apprentissage ; « a-didactique » ne signifie donc ni absence d'enseignant ni activité sans intention didactique.

La dévolution réussit si l'élève s'engage avec ses connaissances propres et accepte l'incertitude d'un véritable problème. Cette responsabilité concerne son activité intellectuelle, pas une culpabilité en cas d'échec. L'ignorance initiale fait partie de la situation, puisque le savoir visé reste à construire. Dans la théorie des situations didactiques, la notion relie ainsi deux rôles : l'enseignant organise le milieu et l'élève devient acteur de l'apprentissage.

Une classe reçoit 24 carreaux identiques. La consigne est de former un rectangle utilisant tous les carreaux, puis de trouver celui dont le périmètre est le plus petit. Une disposition est décrite par son nombre de lignes et de colonnes.

1. Les élèves construisent les rectangles possibles à côtés entiers : 1 ligne sur 24 colonnes, 2 sur 12, 3 sur 8 et 4 sur 6. Chaque disposition emploie bien 24 carreaux.

2. Ils comptent les côtés-unités du contour. Les périmètres obtenus sont respectivement 50, 28, 22 et 20 côtés-unités.

3. Le rectangle de 4 lignes sur 6 colonnes est retenu, car 20 est le plus petit des quatre résultats. Le contrôle consiste à vérifier deux choses : chaque rectangle contient 24 carreaux et la liste reprend toutes les paires de diviseurs de 24.

4. La dévolution ne tient pas à la seule consigne. Elle apparaît si l'enseignant laisse la comparaison des constructions et des périmètres valider la décision, sans souffler la paire 4 et 6. Le milieu fournit alors des rétroactions que les élèves peuvent interpréter eux-mêmes.

Pour préparer une recherche, l'enseignant repère la décision mathématique que l'élève doit prendre. Dans le problème des 24 carreaux, comparer les périmètres est préférable à annoncer qu'il faut chercher la forme la plus proche d'un carré.

Pendant l'activité, une relance peut rappeler une donnée ou demander comment contrôler un résultat. Si elle indique la paire 4 et 6 ou la conclusion, elle reprend à l'élève la décision que la situation devait lui faire assumer.

Pour observer la dévolution, il faut regarder les raisons données par l'élève. « C'est le plus petit périmètre de notre liste complète » manifeste un contrôle par le problème ; « parce que le professeur a dit que c'était bon » signale que l'attente professorale domine encore.

Après un échec, l'enseignant peut modifier le milieu ou l'aide sans attribuer une faute à l'élève. Il cherche une nouvelle condition d'engagement, car la responsabilité cognitive n'est pas une culpabilité.

Le contrat didactique. Le contrat didactique organise les attentes, souvent implicites, entre enseignant et élèves autour du savoir. La dévolution est le processus par lequel l'élève accepte la responsabilité du problème. Dans l'exemple, attendre l'approbation du professeur relève du contrat ; comparer soi-même les périmètres manifeste la dévolution.

L'autonomie matérielle. Travailler seul, choisir son matériel ou se déplacer librement ne prouve pas une dévolution. Le critère décisif est cognitif : l'élève prend-il les décisions liées au savoir ? Un élève peut manipuler seul les carreaux tout en appliquant une procédure entièrement dictée.

La motivation. L'envie de participer peut favoriser l'engagement, mais elle ne suffit pas. Un élève très enthousiaste qui cherche seulement à deviner ce que veut l'enseignant n'a pas encore pris le problème à sa charge.

L'effacement du professeur n'est pas un critère. Laisser une classe sans aide peut produire du désarroi plutôt qu'une situation a-didactique. Si les élèves ne peuvent tirer aucune rétroaction de leurs actions, l'enseignant doit réorganiser le milieu ou proposer une relance qui préserve la décision visée.

Une bonne réponse ne prouve pas la dévolution. L'élève peut obtenir 4 lignes sur 6 en déchiffrant un indice professoral. Il faut examiner la justification et le contrôle employés, pas seulement le résultat final.

La dévolution n'est pas définitive. Un élève peut prendre en charge une première décision, puis chercher l'approbation de l'enseignant à l'étape suivante. L'analyse doit porter sur les décisions successives effectivement laissées à l'élève.

L'échec n'est pas une faute. Si une tentative ne réussit pas, le symptôme pertinent est l'écart entre les connaissances mobilisées et les rétroactions du milieu. Il faut traiter cet écart comme une condition possible de construction du savoir, sans transformer la responsabilité cognitive en culpabilité.

Le contrat didactique aide à reconnaître les attentes implicites dont l'élève doit se détacher pour agir selon la logique du problème.

La situation didactique replace la dévolution dans l'organisation d'un milieu, d'un savoir visé et des interactions d'apprentissage.

La didactique des mathématiques élargit l'étude aux relations entre savoirs mathématiques, conditions d'enseignement et apprentissages.