Friedman William

En 1920, William Friedman transforme une observation sur les lettres en outil de cryptanalyse. Dans un texte chiffré, certaines lettres reviennent plus souvent que d'autres. En comptant les coïncidences entre deux positions, il devient possible de repérer une structure que le message dissimule.

Cette démarche illustre son apport majeur : faire entrer les statistiques dans l'attaque des chiffres. L'indice de coïncidence aide notamment à étudier les substitutions, les permutations et le chiffrement de Vigenère.

William Friedman (1891-1969) est un cryptologue américain dont les travaux ont contribué à rendre la cryptanalyse scientifique. Né Wolfe Friedman en Moldavie, alors intégrée à l'Empire russe, il émigre avec sa famille aux États-Unis en 1893. Diplômé de l'université Cornell en 1914, il découvre la cryptologie au Riverbank Laboratory après sa rencontre avec Elizebeth Smith et Elizabeth Wells Gallup. Il épouse Elizebeth Smith en 1917.

Son apport mathématique central est l'indice de coïncidence, présenté en 1920 dans The Index of Coincidence and its Applications in Cryptography. Pour un texte de longueur N, le nombre d'occurrences de la lettre i est noté n_i. L'indice mesure la probabilité que deux positions distinctes, choisies dans le texte, portent la même lettre : $I=\frac{{\sum }_i{n}_i(n_i-1)}{N(N-1)}I=\backslash frac\{\backslash sum\_i\; n\_i(n\_i-1)\}\{N(N-1)\}$. Cette mesure statistique sert à attaquer des chiffrements par substitution ou permutation, dont le chiffrement de Vigenère.

Recruté par l'armée américaine, Friedman participe à la cryptanalyse des codes allemands pendant la Première Guerre mondiale, puis au déchiffrement du code 97 japonais en 1939. En 1941, sa santé le conduit à transmettre ses recherches aux Britanniques chargés d'Enigma. Après la guerre, il devient cryptologue en chef à la National Security Agency et prend sa retraite en 1955. En 1957, William et Elizebeth Friedman publient The Shakespearean Ciphers Examined, qui réfute la thèse d'une paternité secrète de Francis Bacon sur les œuvres de Shakespeare.

Comparons deux suites fictives de dix lettres pour voir ce que mesure l'indice de coïncidence. Les données sont les suivantes :
Suite A : AAAAABBBBB, soit cinq A et cinq B.
Suite B : ABCDEFGHIJ, soit dix lettres toutes différentes.
Dans les deux cas, la longueur N vaut 10.

1. Pour la suite A, les paires ordonnées identiques sont comptées par 5 × 4 pour les A et 5 × 4 pour les B.
2. Le numérateur vaut donc 40, tandis que le dénominateur vaut 10 × 9, soit 90.
3. L'indice de A est $I_A=\frac{40}{90}=\frac{4}{9}\approx \mathrm{0,444}I\_A=\backslash frac\{40\}\{90\}=\backslash frac\{4\}\{9\}\backslash approx\; 0\{,\}444$.
4. Pour la suite B, chaque effectif vaut 1. Le numérateur est nul et l'indice I_B vaut exactement 0.

Le contrôle se refait en tirant deux positions distinctes : la suite A offre de nombreuses paires égales, tandis que la suite B n'en offre aucune. L'indice quantifie donc une répétition, mais ne déchiffre pas à lui seul un message.

Face à un texte chiffré, le cryptanalyste compte les lettres et compare les coïncidences. Une répétition marquée oriente vers une structure statistique ; si le texte est trop court, il faut recueillir davantage de matériau plutôt que conclure.

Pour étudier un chiffrement de Vigenère, l'indice sert à chercher des sous-suites dont les fréquences se ressemblent. Une fois une longueur plausible repérée, l'analyse de fréquences devient une alternative plus précise pour étudier chaque sous-suite.

Dans l'histoire des mathématiques, les travaux de Friedman montrent comment un problème de secret peut devenir un problème de mesure. Le geste décisif consiste à remplacer une impression de répétition par un calcul contrôlable.

Cryptanalyse et cryptographie. La cryptanalyse cherche à attaquer un chiffre, tandis que la cryptographie cherche à chiffrer. Examiner les répétitions d'un message relève de la première ; concevoir le procédé qui protège ce message relève de la seconde. Toutes deux appartiennent à la cryptologie.

Indice de coïncidence et déchiffrement. L'indice fournit une mesure statistique, pas le texte en clair. Une valeur révélant des répétitions peut guider l'attaque ; elle ne donne ni automatiquement la clé ni le message.

Échantillon trop court. Sur quelques lettres, une répétition fortuite peut faire varier fortement l'indice. Le symptôme est une conclusion qui change dès que quelques caractères sont ajoutés. Il faut alors réunir un texte plus long et traiter le résultat comme un indice, non comme une preuve.

Valeurs extrêmes. Pour N lettres toutes différentes, l'indice vaut 0. Pour N lettres toutes identiques, il vaut 1. Entre ces deux cas charnières, une même valeur peut provenir de répartitions différentes ; il faut donc examiner aussi les fréquences détaillées.

Contexte ignoré. Une valeur ne s'interprète pas sans connaître l'alphabet retenu, la longueur du texte et la manière de découper les données. Si ces conventions changent, il faut les fixer à nouveau avant toute comparaison.

L'article sur l'indice de coïncidence approfondit la mesure statistique qui constitue l'apport mathématique majeur de Friedman.

La fiche cryptanalyse replace ses travaux dans l'art d'attaquer les chiffres et d'exploiter les régularités d'un message.

La fiche cryptographie présente l'activité complémentaire qui consiste à concevoir des procédés de chiffrement.