hexaflexagone

Imaginez un hexagone plat en papier dont les faces visibles ne racontent pas toute l'histoire. En rapprochant certains plis, puis en ouvrant le centre, une face jusque-là cachée peut prendre la place de celle que vous regardiez.

Cet objet se prépare avec une bande de dix triangles équilatéraux adjacents. Neuf triangles forment le corps plié ; le dixième sert de languette de collage. Les couleurs ou les numéros aident à suivre les changements de face, mais le mécanisme vient des plis et des couches superposées.

Un hexaflexagone est un flexagone dont l'état assemblé est un hexagone plan. Un flexagone est une structure pliable fabriquée dans une bande de matériau souple divisée en polygones. Des flexions successives modifient l'agencement apparent de ses couches et peuvent ainsi révéler des faces cachées.

Dans la construction décrite ici, la bande comporte dix triangles équilatéraux adjacents. Les neuf premiers constituent le corps de l'objet ; le dixième ferme l'assemblage comme languette de collage. Après pliage et collage, le contour visible est hexagonal. La forme extérieure ne suffit toutefois pas à définir l'objet : il faut aussi que la structure en couches puisse être fléchie pour faire apparaître d'autres faces.

Les flexagones peuvent partir de bandes divisées en triangles, rectangles ou autres polygones ; l'hexaflexagone présenté ici emploie précisément des triangles équilatéraux. Découvert en 1939 par Arthur H. Stone, alors étudiant anglais à l'université de Princeton, cet objet relie construction géométrique et exploration combinatoire des faces accessibles.

Construisons le modèle décrit par la définition source. La bande et l'hexagone assemblé permettent de contrôler séparément la découpe, le collage et la flexion.

Données :
10 triangles équilatéraux adjacents et de même taille ;
les triangles 1 à 9 forment le corps ;
le triangle 10 sert de languette de collage ;
le matériau est assez souple pour être plié sans se déchirer.

1. Tracer une bande continue de dix triangles équilatéraux, les numéroter de 1 à 10 de gauche à droite, puis préplier chaque côté commun dans les deux sens.
2. Au pli A, entre les triangles 4 et 5, rabattre le groupe 1–4 derrière le groupe 5–10.
3. Au pli B, entre les triangles 7 et 8, rabattre le groupe 8–10 par-dessus le groupe 1–7.
4. Glisser derrière la couche voisine la pointe triangulaire qui dépasse en bas. Rabattre ensuite le triangle 10 sous le triangle 1 et les coller l'un à l'autre, sans prendre les autres couches dans le collage.
5. Pincer doucement deux zones opposées du bord pour rapprocher les plis qui s'ouvrent, puis ouvrir le centre ; arrêter dès qu'une couche se dégage naturellement ou qu'une résistance apparaît, et aplatir la nouvelle face.

Le contrôle comporte deux constats refaisables : l'objet au repos a un contour hexagonal, et une flexion permise par ses plis remplace la face visible par une face auparavant cachée. Si seule la première propriété est obtenue, le modèle est un hexagone plié, mais son mécanisme de flexagone n'est pas encore vérifié.

Pour une activité de construction géométrique, tracez d'abord les dix triangles sur une bande continue. Un gabarit régulier est préférable à un tracé approximatif dès que les côtés cessent de se superposer au pliage.

Pour suivre les faces, donnez une même couleur ou un même symbole aux triangles qui apparaissent ensemble après assemblage. Des repères discrets sont préférables à un décor uniforme lorsque l'objectif est d'observer le passage d'une face à l'autre.

Pour explorer les possibilités de l'objet, notez la face visible après chaque flexion et comparez les suites obtenues. Cette observation convient mieux qu'un simple comptage des dessins lorsqu'il faut étudier l'ordre dans lequel les faces deviennent accessibles.

Un hexagone en papier et un hexaflexagone peuvent avoir le même contour. Le critère qui les sépare est la flexion : l'hexaflexagone possède des couches articulées capables de révéler une face cachée, tandis qu'un hexagone plat sans ce mécanisme conserve la même face visible.

Un flexagone désigne la famille entière des structures pliables à faces cachées. L'hexaflexagone en est un membre de forme hexagonale. Une structure flexagone construite avec une autre division polygonale n'est donc pas automatiquement un hexaflexagone.

Le dixième triangle n'est pas une face supplémentaire à plier au hasard. Dans cette construction, il sert de languette de collage. Si les dix triangles sont intégrés de la même manière au corps, la fermeture prévue n'est plus respectée ; il faut réserver le dernier avant l'assemblage.

Un beau contour hexagonal ne garantit pas le fonctionnement. Le symptôme est un objet plat dont aucune couche ne s'ouvre sans résistance. Il faut alors reprendre l'ordre des plis ou le collage, plutôt que forcer la flexion et déchirer le papier.

Les triangles doivent rester équilatéraux dans le modèle décrit. Des côtés inégaux produisent des décalages visibles lors de la superposition. Il faut corriger le tracé avant le collage ; employer d'autres polygones conduit éventuellement à un autre flexagone, pas à cette construction précise.

Les couleurs et les numéros ne créent pas les faces. Ils servent seulement à les repérer. Une décoration peut masquer une erreur d'assemblage ; le contrôle pertinent reste l'apparition d'une face auparavant cachée sous l'effet d'une flexion permise par les plis.

L'article Au pays des hexaflexagones prolonge directement l'exploration de cette famille de pliages.

L'article L’étude des cartes de plis élargit la réflexion aux informations portées par l'organisation des plis.

Le glossaire analyse combinatoire fournit un cadre pour étudier méthodiquement les configurations et les suites de faces accessibles.