flexagone

Prenez une bande de papier pliée sur elle-même, puis entrouvrez-la par un pincement précis. La face visible se referme et une autre apparaît, comme si l'objet possédait des surfaces cachées. Ce geste s'appelle une flexion.

Le flexagone n'est donc pas seulement une forme plate : sa manière d'être plié organise plusieurs faces accessibles. Les colorier différemment rend chaque changement immédiatement observable.

Un flexagone est une structure plane obtenue en pliant une bande de papier, ou un autre matériau souple, selon une construction géométrique déterminée. Une manipulation appelée flexion réorganise les parties pliées et fait apparaître une face qui n'était pas visible auparavant. La possibilité de répéter cette opération, et non la seule silhouette extérieure, caractérise son fonctionnement.

La bande de départ peut être droite ou courbe. La forme du modèle de base et son agencement déterminent la variante obtenue ainsi que le nombre de faces accessibles. Ces faces peuvent recevoir des couleurs ou des motifs distincts ; les flexions produisent alors différentes figures géométriques observables.

Arthur H. Stone a découvert le premier flexagone en 1939 en jouant avec des bandes de papier pliées. L'objet relève ainsi des mathématiques récréatives, mais sa construction permet aussi d'étudier concrètement le pliage, la symétrie et la géométrie plane.

On dispose d'un flexagone déjà construit et de trois couleurs. Données : la face visible au départ est jaune ; le rouge et le noir servent, dans cet ordre, à distinguer les surfaces encore non coloriées qui apparaissent éventuellement au fil des flexions. Ce code ne suppose ni un nombre de faces ni un ordre de parcours propres à tous les flexagones. Une flexion est réussie lorsqu'elle ouvre le modèle sans forcer et présente une autre face.

1. Coloriez en jaune toutes les zones visibles, puis laissez sécher afin de ne pas marquer les plis.

2. Pincez les plis qui se rejoignent naturellement et ouvrez le centre. Si le papier résiste, refermez le modèle et essayez une autre orientation sans tirer.

3. La nouvelle surface visible reçoit le rouge. Répétez une flexion, puis utilisez le noir si une surface encore non coloriée apparaît.

Le contrôle est visuel et refaisable : notez seulement les changements de face effectivement observés lors de flexions effectuées sans déplier la construction, puis vérifiez qu'ils se reproduisent en reprenant les mêmes gestes sur ce modèle. La figure schématise un changement de la face jaune vers une face rouge sur le modèle hexagonal de cet exemple ; elle ne décrit pas les autres transitions possibles.

En classe, la construction fait travailler la précision du pliage. Lorsque les bords ne se superposent pas correctement ou que la flexion bloque, il faut reprendre le pli concerné plutôt que forcer le papier.

Pour explorer la symétrie, on décore une face avec un motif réparti sur ses différentes zones. Après une flexion, on observe quelles parties du dessin se rapprochent, s'éloignent ou changent d'orientation.

Pour inventorier les faces plutôt que les motifs, des couleurs unies ou des numéros sont préférables. Le critère est simple : chaque marquage doit permettre de reconnaître une face lors de sa prochaine apparition.

Un flexagone ne se confond pas avec un hexaflexagone. Le premier nom désigne la famille générale ; le second précise une variante dont le modèle de base est hexagonal. Révéler de nouvelles surfaces ne suffit pas à faire d'une construction un flexagone : sa structure doit permettre une opération de flexion répétable. Elle ne relève de la variante hexagonale que si sa forme de base fournit ce critère.

Une flexion ne doit pas être forcée. Une résistance nette signale que les plis choisis ne forment pas l'ouverture attendue ou que la construction est imprécise. Il faut refermer le modèle, changer son orientation et rechercher un autre pincement.

Toutes les variantes ne donnent pas le même parcours. Une bande droite ou courbe, une autre forme de base ou un agencement différent peuvent changer les faces accessibles. L'ordre observé sur un modèle ne constitue donc pas une règle universelle pour tous les flexagones.

Une zone colorée n'est pas forcément une face entière. Plusieurs parties de la bande peuvent composer la surface visible au même moment. Pour compter les faces accessibles, il faut suivre les configurations obtenues par flexion, pas compter séparément chaque morceau de papier visible.

L'article Au pays des hexaflexagones prolonge cette découverte par une famille hexagonale et ses jeux de faces cachées.