matrice de Hilbert

Imaginez une grille carrée remplie de fractions. La case en haut à gauche contient 1. En avançant d’une case vers la droite ou vers le bas, le dénominateur augmente de 1 : on rencontre 1/2, puis 1/3, 1/4, etc.

Cette grille est une matrice de Hilbert. Deux cases placées en miroir par rapport à la diagonale principale contiennent la même fraction. Malgré cette organisation très régulière, les calculs numériques effectués avec une grande matrice de Hilbert deviennent très sensibles aux petits arrondis.

Une matrice de Hilbert est une matrice carrée déterminée par son ordre, c’est-à-dire son nombre n de lignes et de colonnes. Pour une ligne numérotée i et une colonne numérotée j, avec i et j compris entre 1 et n, son coefficient est donné par $h_{ij}=\frac{1}{i+j-1}h\_\{ij\}=\backslash frac\{1\}\{i+j-1\}$. L’ordre fixe donc la taille, et la position fixe entièrement chaque valeur.

Les positions (i, j) et (j, i) ont la même somme i + j, donc le même coefficient de part et d’autre de la diagonale : la matrice est symétrique. Elle est aussi définie positive pour tout ordre n. Ces deux propriétés ne suppriment toutefois pas sa difficulté numérique. Son nombre de conditionnement augmente très rapidement avec n, si bien qu’un système linéaire qui l’utilise peut amplifier les erreurs d’arrondi.

Cette sensibilité en fait un banc d’essai classique en analyse numérique : elle met à l’épreuve les algorithmes de résolution de systèmes linéaires dans un cadre dont tous les coefficients sont connus exactement.

La structure repose sur quatre éléments. L’ordre n donne le nombre de lignes et de colonnes. L’indice i repère une ligne, tandis que l’indice j repère une colonne. Enfin, la somme i + j − 1 fournit le dénominateur du coefficient situé à leur croisement.

Le couple ligne-colonne détermine donc chaque fraction, et l’ordre détermine quels couples existent. Les cases pour lesquelles i + j est identique forment une anti-diagonale de valeurs égales. Comme la formule ne distingue pas i de j, les positions (i, j) et (j, i) se répondent avec la même valeur. Ces seules données suffisent à construire toute la matrice ; la disposition graphique ou la couleur choisie pour la représenter n’en font pas partie.

Prenons la matrice de Hilbert d’ordre 3. Les données sont les indices de lignes i = 1, 2, 3, les indices de colonnes j = 1, 2, 3 et le vecteur colonne dont les trois composantes valent 1.

1. On construit les neuf coefficients avec la règle donnée :

2. On multiplie chaque ligne par le vecteur choisi. Les trois sommes sont exactes :

3. Le résultat est le vecteur colonne de composantes 11/6, 13/12 et 47/60. Pour contrôler le calcul, on remet les termes de chaque ligne au même dénominateur : 6/6 + 3/6 + 2/6 = 11/6, par exemple pour la première ligne.

En analyse numérique, on construit une matrice de Hilbert d’un ordre donné, puis on l’utilise dans un système linéaire pour éprouver une méthode de résolution. On observe alors l’écart entre le résultat attendu et celui obtenu avec des nombres arrondis.

Pour comparer deux algorithmes, on leur soumet le même ordre, le même second membre et la même précision numérique. Si leurs résultats réagissent différemment aux arrondis, ce test rend visible leur comportement face à un mauvais conditionnement.

Pour un calcul courant, la matrice de Hilbert n’est donc pas choisie parce qu’elle modélise spontanément le problème. Elle est surtout préférée comme banc d’essai lorsque le critère recherché est une forte sensibilité numérique, et non un simple exemple de matrice symétrique.

Matrice de Hilbert et matrice symétrique définie positive. « Symétrique définie positive » décrit des propriétés, tandis que « matrice de Hilbert » impose aussi le coefficient 1/(i + j − 1) à chaque position. Une matrice peut donc partager ces propriétés sans être une matrice de Hilbert ; la règle des coefficients tranche.

Matrice de Hilbert et matrice simplement remplie de fractions. La présence de nombres comme 1/2 ou 1/3 ne suffit pas. Pour une matrice de Hilbert, la case (2, 3), par exemple, vaut nécessairement 1/4, car 2 + 3 − 1 = 4.

Le premier ordre est un cas charnière. Pour n = 1, la matrice se réduit à la seule valeur 1. Il ne faut donc pas lire « mal conditionnée » comme une difficulté identique à chaque ordre : la sensibilité devient l’enjeu lorsque l’ordre augmente.

Des coefficients exacts ne garantissent pas un calcul numérique exact. Les fractions définissent la matrice sans ambiguïté, mais leur représentation décimale et les opérations effectuées peuvent introduire des arrondis. Il faut conserver les fractions exactes pour un contrôle symbolique ou préciser la précision numérique employée.

La positivité définie n’efface pas le mauvais conditionnement. Ces deux informations coexistent ici. Vérifier seulement que la matrice est symétrique et définie positive ne suffit donc pas à prévoir la stabilité d’une résolution ; il faut aussi examiner son conditionnement.

Le Conditionnement donne le cadre précis pour relier les petites perturbations des données aux variations possibles du résultat d’un calcul.

Cette notion éclaire le rôle de la matrice de Hilbert : sa structure est simple à écrire, mais son nombre de conditionnement croît très rapidement avec l’ordre. Elle sépare ainsi la difficulté mathématique de définir un objet de la difficulté numérique de calculer avec lui.