matrice infinie

Imaginez un quadrillage dont aucune dernière ligne ni aucune dernière colonne n'est désignée. Chaque case porte un nombre, comme dans une matrice ordinaire, mais le tableau se poursuit quel que soit le rang atteint.

Dans la matrice infinie de Hilbert, la case située à la ligne 2 et à la colonne 3 contient 1/4 : on additionne les deux rangs, puis on retire 1. Cette règle détermine aussi toutes les cases que l'on ne peut pas afficher.

Une matrice infinie est une famille de coefficients rangés par lignes et par colonnes, avec une infinité d'indices dans au moins une de ces deux directions. Un ensemble d'indices infini peut toutefois posséder un maximum : l'absence de dernier rang ne découle donc pas de sa seule infinitude. Dans le cadre de la source, les lignes et les colonnes sont toutes deux indexées par les entiers positifs. Il faut préciser ces ensembles d'indices : l'écriture du tableau seule ne peut en montrer qu'une partie finie.

Pour la matrice de Hilbert considérée ici, la lettre i désigne le rang de la ligne et la lettre j celui de la colonne ; ces rangs sont des entiers au moins égaux à 1. Le coefficient placé à leur intersection est noté h_ij et obéit à la règle suivante.

Cette formule définit chaque coefficient individuellement. Elle rend la matrice symétrique, car échanger les rangs i et j ne change pas leur somme. Avec l'indexation i, j ∈ ℕ^* utilisée ici, aucun dernier rang n'existe : la matrice de Hilbert n'est donc pas une matrice finie simplement très grande.

Quatre éléments organisent l'objet. L'ensemble des indices de ligne fixe les rangs possibles ; celui des indices de colonne joue le même rôle horizontalement. À chaque couple de rangs correspond ensuite un coefficient. Enfin, une règle peut déterminer ces coefficients sans qu'il soit nécessaire de les énumérer.

Dans la matrice de Hilbert, les deux ensembles d'indices commencent à 1 et la valeur d'une case dépend de la somme de ses deux rangs. Les cases situées sur une même anti-diagonale, du coin supérieur droit au coin inférieur gauche, ont donc le même dénominateur. Le bloc carré 4 × 4 présenté par la figure est seulement une fenêtre sur l'objet : il suffit pour calculer les seize coefficients visibles, mais ne remplace pas la matrice infinie.

On veut construire le bloc supérieur gauche de quatre lignes et quatre colonnes de la matrice de Hilbert.
Données : les rangs de ligne i vont de 1 à 4 ; les rangs de colonne j vont de 1 à 4 ; chaque coefficient vaut l'inverse de i + j − 1.

1. Pour la première ligne, le rang i vaut 1 : les dénominateurs sont 1, 2, 3 et 4.
2. Pour la deuxième ligne, i vaut 2 : ils deviennent 2, 3, 4 et 5.
3. Le même calcul avec les rangs 3 puis 4 donne les deux dernières lignes.

4. Le contrôle se refait sur deux cases symétriques : à la ligne 3 et la colonne 4, puis à la ligne 4 et la colonne 3, le dénominateur vaut 3 + 4 − 1 = 6. Les deux coefficients sont bien égaux à 1/6.

En analyse numérique, on travaille sur un bloc fini extrait de la matrice infinie. Le geste consiste à choisir une taille, construire tous les coefficients requis, puis observer ce que le calcul devient lorsque cette taille augmente.

La matrice de Hilbert sert notamment à mettre en évidence des difficultés de conditionnement dans les systèmes linéaires de grande taille. Si l'objectif est d'étudier cette sensibilité, on préfère plusieurs blocs de tailles croissantes à un unique petit bloc.

Si seules quelques valeurs sont nécessaires, la règle des coefficients est préférable à l'affichage d'un vaste tableau. Elle donne directement la case voulue à partir de ses deux rangs et évite de prétendre représenter toute la matrice.

Matrice infinie et grande matrice finie. Une grande matrice finie possède une dernière ligne et une dernière colonne, même si elles sont difficiles à afficher. Dans la matrice de Hilbert considérée ici, les rangs sont les entiers positifs : il n'existe donc ni dernière ligne ni dernière colonne. Un bloc 100 × 100 de la matrice de Hilbert reste une matrice finie, pas la matrice infinie entière.

Matrice infinie et matrice de Hilbert. La première expression nomme une catégorie d'objets ; la seconde désigne ici un exemple défini par une règle particulière. Une matrice infinie dont tous les coefficients valent 1 est bien infinie, mais elle n'obéit pas à la règle de Hilbert.

Une fenêtre finie ne prouve rien à elle seule sur l'objet entier. Le symptôme est une conclusion tirée du seul bloc 4 × 4 alors que des rangs supérieurs interviennent. Il faut annoncer la taille du bloc et distinguer le calcul fini de l'affirmation portant sur toute la matrice.

« Dans les deux directions » demande une convention d'indices. Dans l'exemple de Hilbert, les deux directions signifient une infinité de lignes et une infinité de colonnes, toutes indexées à partir de 1. Cela ne signifie pas que les rangs prennent ici des valeurs négatives. Il faut préciser l'ensemble d'indices avant tout calcul.

Les opérations ne se prolongent pas automatiquement. Connaître chaque coefficient suffit pour définir le tableau, mais un produit de matrices infinies ferait intervenir des sommes infinies. Si leur convergence n'est pas établie dans le cadre choisi, il faut rester au calcul coefficient par coefficient ou sur des blocs finis.

Le conditionnement dépend du problème fini étudié. Parler du conditionnement sans indiquer le bloc ou le système concerné masque les données du calcul. Il faut nommer la taille de la troncature et interpréter le résultat à cette taille.

Conditionnement. Ce prolongement précise pourquoi un système linéaire peut amplifier de petites perturbations et éclaire le rôle classique des blocs de Hilbert en analyse numérique.