myriade

Imaginez 10 000 grains rangés en 100 lignes de 100. Les Grecs appelaient cette quantité une myriade. Ce mot donnait un nom précis à dix mille, mais le système ordinaire atteignait alors sa limite.

Pour aller bien au-delà, Archimède regroupe les nombres par paquets gigantesques. Une myriade de myriades vaut 10 000 fois 10 000, soit 100 000 000. Ce nouveau palier permet de poursuivre le décompte au lieu de s'arrêter faute de noms.

Une myriade est le nombre dix mille, écrit 10 000 ou 10⁴. Le mot vient du grec murias. Dans le système grec ordinaire décrit par la source, cette valeur formait la limite supérieure des entiers que l'on pouvait nommer.

Dans L'Arénaire, Archimède cherche un majorant du nombre de grains de sable nécessaire pour remplir l'univers tel qu'il le concevait. Un majorant est une valeur placée au-dessus de toutes les quantités envisagées. Le vocabulaire numérique disponible étant insuffisant, il construit un système positionnel de base 10⁸. La valeur d'un rang y dépend donc de sa position et chaque nouveau rang correspond à un facteur 10⁸.

La base choisie est elle-même une myriade de myriades : ${10}^4\times {10}^4={10}^{8}10^\{4\}\backslash times\; 10^\{4\}=10^\{8\}$. Cette construction ne prétend pas donner un dernier entier. Elle montre au contraire qu'un système de désignation peut être prolongé pour nommer et manipuler des entiers aussi grands que nécessaire, idée qui anticipe la notation positionnelle moderne en grande base.

On veut former le premier grand paquet utilisé par Archimède.
Données : une myriade vaut 10 000 ; le paquet contient une myriade de myriades.

1. Écrivez chaque myriade comme une puissance de dix : 10 000 = 10⁴.

2. Multipliez le nombre de groupes par la taille de chaque groupe.

3. Développez 10⁸ : le résultat est 100 000 000. Une myriade de myriades contient donc exactement cent millions d'unités.

Le contrôle se refait par les zéros : 10 000 possède quatre zéros ; le produit 10 000 × 10 000 en possède huit. La figure matérialise ce changement d'échelle sans représenter chaque unité séparément.

Dans un texte mathématique ou historique, remplacez « une myriade » par 10 000 pour effectuer un calcul. Cette lecture exacte est préférable au sens courant lorsque l'auteur compte ou compare des quantités.

Devant « une myriade de myriades », multipliez 10 000 par 10 000. Il ne s'agit pas de deux myriades additionnées, mais de 10 000 groupes contenant chacun 10 000 unités.

Pour écrire des nombres qui dépassent le vocabulaire disponible, le geste d'Archimède consiste à fixer un grand facteur de regroupement et à faire dépendre la valeur d'un rang de sa position. Une simple liste de nouveaux noms convient seulement si elle couvre effectivement toutes les valeurs nécessaires.

Une myriade et une myriade de myriades. La première vaut 10 000 ; la seconde compte 10 000 groupes de 10 000 et vaut 100 000 000. Le test consiste à repérer le complément « de myriades ».

Multiplication et addition. Deux myriades valent 20 000, tandis qu'une myriade de myriades vaut 100 000 000. « Deux » fixe un nombre de groupes ; « une myriade de » en fixe 10 000.

Myriade et million. Une myriade vaut 10 000, alors qu'un million vaut 1 000 000. Cent myriades sont nécessaires pour former un million : compter les zéros tranche immédiatement.

Le seuil de 10 000 concerne le système grec ordinaire décrit ici. Il ne constitue pas une limite des entiers eux-mêmes. Si le décompte doit dépasser ce seuil, il faut changer ou étendre le système de désignation.

10⁸ n'est pas le plus grand nombre d'Archimède. C'est la base, donc le facteur qui sépare deux rangs successifs du système positionnel. S'arrêter à cent millions ferait disparaître précisément la possibilité de poursuivre la construction.

Le nombre de grains recherché est un majorant. L'objectif rapporté par la source est de fixer une borne supérieure pour l'univers conçu par Archimède, non de fournir un comptage exact de grains réels. Il faut donc lire le résultat comme une limite calculée, pas comme une mesure.

La fiche Archimède présente le savant associé à L'Arénaire et permet de situer cet épisode dans son parcours.