paradoxe de Braess

Imaginez 4 000 automobilistes qui empruntent chaque matin deux itinéraires. Ils se répartissent et mettent chacun 65 minutes. Une voie très rapide relie soudain les deux parcours. Chacun a intérêt à la prendre ; pourtant, lorsqu'ils font tous ce choix, le trajet dure 80 minutes.

C'est le paradoxe de Braess : une possibilité supplémentaire modifie les choix individuels et peut dégrader la circulation pour tout le monde. La route nouvelle n'est pas mauvaise isolément. C'est l'équilibre qu'elle provoque dans le réseau qui l'est.

Le paradoxe de Braess est un résultat de théorie des jeux et d'optimisation des réseaux, mis en évidence en 1968 par le mathématicien allemand Dietrich Braess, né en 1938. Il concerne des conducteurs qui connaissent les temps de parcours, ont des destinations fixées et choisissent individuellement l'itinéraire le plus avantageux. Le coût d'une route peut dépendre du flux qui l'emprunte, donc de la densité du trafic.

À l'équilibre, aucun conducteur ne peut réduire seul son temps de trajet en changeant de chemin : c'est un équilibre de Nash dans le modèle où chaque conducteur est négligeable. Cet équilibre individuel peut différer de l'optimum collectif, qui minimise le temps total de tous les trajets.

L'ajout d'une liaison peut alors changer les itinéraires choisis et conduire à un nouvel équilibre où tous les temps sont plus longs. Le résultat affirme une possibilité, non une règle universelle : certaines routes nouvelles améliorent réellement le réseau. Le mécanisme est apparenté au dilemme du prisonnier, car des décisions rationnelles prises séparément produisent une issue collectivement défavorable. Le phénomène est observé en pratique, notamment dans la gestion du trafic routier urbain.

Si le temps de certaines routes augmente avec leur flux et si chaque conducteur choisit égoïstement un trajet de durée minimale, alors l'ajout d'une liaison peut déplacer l'équilibre de circulation vers une situation où chaque conducteur voyage plus longtemps. Supprimer cette liaison peut, inversement, réduire tous les temps à l'équilibre. Le verdict se vérifie en calculant l'équilibre avant et après la modification, et non en examinant seulement le coût de la nouvelle voie.

Le modèle demande un réseau, des origines et destinations fixées, un nombre de conducteurs, ainsi qu'un temps de parcours défini pour chaque route en fonction de son flux. Les conducteurs doivent pouvoir comparer les itinéraires et choisir individuellement un trajet minimal. L'équilibre recherché est atteint quand aucun d'eux ne gagne à changer seul de route.

Le paradoxe n'apparaît que si la nouvelle liaison change cet équilibre et augmente les durées. Si tous les temps sont indépendants du trafic, ajouter une route ne rallonge pas le meilleur trajet disponible : on compare alors simplement des chemins de coûts fixes. De même, si une autorité répartit les flux pour minimiser le temps total, il faut étudier l'optimum collectif plutôt que l'équilibre issu des choix individuels.

Un réseau relie un départ S à une arrivée T par A et B. Il accueille 4 000 conducteurs. Sur S–A et B–T, le temps en minutes vaut le flux divisé par 100. Sur A–T et S–B, il vaut 45 minutes. La liaison orientée A–B prend 0 minute.

1. Sans A–B, 2 000 conducteurs prennent chaque trajet. Tous durent 2 000/100 + 45 = 65 minutes : cette répartition est un équilibre.

2. Avec A–B, S–A ne dépasse pas 40 minutes, contre 45 sur S–B. Puis B–T ne dépasse pas 40 minutes, contre 45 sur A–T. Tous choisissent donc S–A–B–T.

3. Les 4 000 conducteurs chargent alors S–A et B–T. Le nouveau temps vaut 4 000/100 + 0 + 4 000/100 = 80 minutes. Dans ce modèle non atomique, où chaque conducteur est négligeable, une déviation solitaire vers A–T ou S–B prendrait 40 + 45 = 85 minutes : personne ne gagne à changer seul.

4. Fermer A–B rétablit deux flux de 2 000 et 65 minutes, soit 15 minutes de moins par conducteur. La voie gratuite a donc aggravé le temps de tous à l'équilibre.

Pour évaluer un projet routier, les gestionnaires comparent les équilibres de trafic du réseau entier avec et sans la liaison. Si le scénario ajouté attire les flux vers des routes déjà sensibles à la congestion, une régulation ou l'absence de liaison peut être préférable à l'ouverture sans restriction.

Lorsqu'une fermeture est envisagée, le bon indicateur n'est pas seulement la capacité retirée. Il faut observer si les conducteurs se redistribuent sur des itinéraires moins congestionnés et si leurs temps à l'équilibre diminuent.

Pour tester un cas, attribuez à chaque route sa fonction de temps, calculez les flux d'équilibre avant et après la modification, puis comparez les durées individuelles et le temps total. Une simple carte du réseau ne suffit pas à conclure.

Équilibre de Nash et optimum collectif. À l'équilibre, aucun conducteur ne réduit seul son temps ; à l'optimum, la somme des temps de tous est minimale. Dans l'exemple avec A–B, 80 minutes est un équilibre, mais fermer la liaison donne 65 minutes à chacun : les deux critères ne coïncident pas.

Paradoxe de Braess et dilemme du prisonnier. Tous deux opposent intérêt individuel et résultat collectif, mais le test diffère. Braess porte sur des itinéraires dont le coût dépend des flux ; le dilemme du prisonnier porte sur des stratégies et des gains. Un réseau congestionné relève du premier, pas automatiquement du second.

Ce n'est pas automatique. Une nouvelle voie ne crée pas toujours le paradoxe. Le symptôme décisif est une durée d'équilibre plus élevée après son ajout. Il faut recalculer les flux dans les deux réseaux avant de conclure.

Coûts fixes. Si aucune durée ne dépend du nombre d'usagers, la nouvelle liaison ajoute un choix sans dégrader les anciens. L'effet de congestion manque ; il faut alors chercher le plus court chemin avec les coûts fixes.

Équilibre et pilotage central. Les 80 minutes de l'exemple décrivent des choix individuels non coordonnés. Une répartition imposée obéit à un autre problème d'optimisation ; ne lui attribuez pas automatiquement le même flux ni la même durée.

Conducteurs non négligeables. Le calcul suppose qu'un changement solitaire ne modifie pas sensiblement les temps de route. Avec seulement quelques véhicules, chacun peut modifier le coût qu'il subit ; il faut employer un jeu atomique et recalculer les déviations exactement.

équilibre de Nash — Approfondir le critère qui interdit tout gain par une déviation individuelle.

dilemme du prisonnier — Comparer une autre situation où les intérêts individuels produisent une issue collective défavorable.