équilibre de Nash

Deux joueurs choisissent chacun une action sans pouvoir réviser leur décision après avoir vu celle de l’autre. Une fois les deux choix connus, chacun regarde s’il gagnerait davantage en changeant seul d’action. Si aucun n’y trouve intérêt, la situation est un équilibre de Nash.

Cet équilibre décrit donc une stabilité individuelle, et non forcément le meilleur résultat pour le groupe. Chaque choix est une meilleure réponse au choix des autres.

Un jeu précise les joueurs, les stratégies dont chacun dispose et le gain associé à chaque combinaison de stratégies. Une telle combinaison est appelée profil de stratégies. Ce profil est un équilibre de Nash si aucun joueur ne peut augmenter son propre gain par une déviation unilatérale, les stratégies des autres restant fixées.

Pour l’écrire, on note i un joueur, S_i l’ensemble de ses stratégies, s^*_i sa stratégie dans le profil candidat et s^*_−i les stratégies de tous les autres. Son gain est donné par la fonction u_i. Le critère complet est : L’inégalité autorise l’indifférence : une déviation peut rapporter autant, mais jamais davantage.

Les stratégies peuvent être pures, lorsqu’une action est choisie avec certitude, ou mixtes, lorsqu’une distribution de probabilités est choisie sur plusieurs actions. Un équilibre peut être unique, multiple, ou absent parmi les seules stratégies pures.

Alice et Bilal choisissent simultanément coopérer ou trahir. Données :
coopérer tous les deux rapporte 3 points à chacun ;
trahir seul rapporte 5 points au traître et 0 à l’autre ;
trahir tous les deux rapporte 1 point à chacun. La matrice des gains rassemble ces quatre issues et met en évidence le profil à tester.

1. Si Bilal coopère, Alice compare 3 points en coopérant à 5 points en trahissant. Elle choisit donc de trahir.

2. Si Bilal trahit, Alice compare 0 point en coopérant à 1 point en trahissant. Elle choisit encore de trahir.

3. Le jeu étant symétrique, Bilal fait les mêmes comparaisons : 5 est supérieur à 3, et 1 est supérieur à 0. Il choisit de trahir dans les deux cas.

4. Au profil trahir, trahir, chacun reçoit 1 point. Le contrôle consiste à changer un seul choix : le joueur qui coopérerait seul tomberait de 1 à 0 point. Personne ne gagne à dévier seul ; ce profil est donc un équilibre de Nash.

Dans un jeu présenté par une matrice de gains, on teste chaque case en maintenant le choix d’un joueur fixe et en comparant les gains accessibles à l’autre. Une case est retenue lorsque personne n’améliore son gain par un changement solitaire.

Lorsque chaque joueur possède une stratégie dominante, leur combinaison donne directement un équilibre de Nash. Si aucune stratégie ne domine toutes les autres, il faut chercher les meilleures réponses pour chaque choix adverse.

Si aucune case ne satisfait le critère en stratégies pures, l’analyse peut passer aux stratégies mixtes. On compare alors des gains moyens associés à des probabilités, plutôt que les seuls gains des actions certaines.

Stratégie dominante. Une stratégie d’un joueur est dominante si, pour tout profil de stratégies des autres joueurs, elle lui procure un gain au moins égal à celui de chacune de ses autres stratégies disponibles. À l’équilibre de Nash, une stratégie doit seulement être une meilleure réponse au profil précis des autres joueurs.

Optimum collectif. Un équilibre décrit l’absence d’amélioration individuelle par déviation solitaire ; il ne maximise pas nécessairement le gain commun. Dans l’exemple, l’équilibre donne 1 point à chacun, alors que la coopération mutuelle en donne 3.

Accord coopératif. Un équilibre de Nash ne suppose ni promesse ni coordination préalable. Le cas tranche lorsque deux joueurs pourraient conclure un accord avantageux, mais qu’un changement individuel reste profitable après cet accord.

Stabilité ne signifie pas satisfaction. Dans le jeu d’Alice et Bilal, 1 point chacun est stable, bien que 3 points chacun soit préférable. Le bon réflexe est de tester séparément la stabilité individuelle et la qualité collective.

Plusieurs équilibres peuvent coexister. Si plusieurs profils résistent aux déviations unilatérales, le critère de Nash ne choisit pas à lui seul celui qui sera observé. Il faut alors annoncer tous les profils trouvés et ajouter un critère de sélection seulement s’il est justifié.

L’absence de case stable ne clôt pas l’analyse. Une recherche limitée aux actions certaines peut ne trouver aucun équilibre. Il faut alors préciser « aucun équilibre en stratégies pures » et examiner, si le cadre le permet, des stratégies mixtes.

Le résultat dépend du jeu modélisé. Oublier une action possible ou attribuer un mauvais gain peut créer ou supprimer un équilibre. Avant tout calcul, il faut contrôler les joueurs, leurs stratégies et les gains de chaque issue.

Le dilemme du prisonnier prolonge l’exemple en montrant pourquoi une décision individuellement stable peut pénaliser les deux joueurs.

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