parallaxe annuelle

Photographiée à plusieurs mois d'intervalle, une étoile proche ne paraît pas exactement au même endroit devant les étoiles beaucoup plus lointaines. Ce petit décalage vient du changement de position de la Terre sur son orbite, comme un pouce semble bouger devant le décor quand on l'observe successivement avec chaque œil.

La parallaxe annuelle traduit ce décalage par un angle. Une étoile proche produit un angle plus grand qu'une étoile éloignée. Mesurer cet angle fournit donc une voie géométrique vers la distance, sans atteindre physiquement l'étoile.

La parallaxe annuelle, ou parallaxe stellaire, est l'angle noté p sous lequel une étoile verrait le demi-grand axe de l'orbite terrestre. Cette longueur de référence, notée a, vaut environ 150 millions de kilomètres. Les observations terrestres repèrent le déplacement apparent de l'étoile par rapport à un fond d'astres plus lointains au cours de l'année.

Dans le triangle rectangle idéal du schéma, la distance d entre le Soleil et l'étoile vérifie $d=\frac{a}{\tan p}d=\backslash frac\{a\}\{\backslash tan\; p\}$. Pour les très petits angles stellaires exprimés en radians, $\tan p\approx p\backslash tan\; p\backslash approx\; p$, donc la distance est approximativement inversement proportionnelle à la parallaxe. La longueur a étant donnée ici de façon approchée, la distance calculée avec cette valeur l'est aussi.

La méthode s'applique aux étoiles assez proches pour que leur déplacement angulaire soit mesurable. Quand l'étoile est trop lointaine, l'angle devient inférieur à la précision accessible et la parallaxe ne fournit plus directement sa distance. En 1838, Friedrich Wilhelm Bessel réalisa la première mesure directe d'une parallaxe annuelle, pour 61 Cygni, ouvrant une étape décisive dans la mesure des distances stellaires.

Considérons une étoile fictive dont la parallaxe annuelle mesurée vaut 0,10 seconde d'arc. Les données sont l'angle p = 0,10″ et le demi-grand axe orbital a ≈ 150 000 000 km. Une seconde d'arc est un trois-mille-six-centième de degré.

1. Convertissons l'angle en radians.
$p=\mathrm{0,10}\times \frac{\pi }{180\times 3600}\approx \mathrm{4,848}\times {10}^{-7}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}p=0\{,\}10\backslash times\backslash frac\{\backslash pi\}\{180\backslash times3600\}\backslash approx4\{,\}848\backslash times10^\{-7\}\backslash \; \backslash mathrm\{rad\}$

2. Appliquons la relation géométrique avec les valeurs annoncées.
$d=\frac{a}{\tan p}\approx \frac{150000000}{\mathrm{4,848}\times {10}^{-7}}\approx \mathrm{3,09}\times {10}^{14}\mathrm{k}\mathrm{m}d=\backslash frac\{a\}\{\backslash tan\; p\}\backslash approx\backslash frac\{150\backslash ,000\backslash ,000\}\{4\{,\}848\backslash times10^\{-7\}\}\backslash approx3\{,\}09\backslash times10^\{14\}\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$

3. L'étoile fictive se trouve donc à environ 3,09 × 10¹⁴ km du Soleil avec les données arrondies retenues. Le schéma représente le triangle utilisé, mais agrandit fortement l'angle pour le rendre visible.

Le contrôle consiste à refaire l'opération inverse : 3,09 × 10¹⁴ km multipliés par la tangente de 0,10″ donnent environ 150 millions de kilomètres. On retrouve bien la longueur de référence, à la précision des arrondis.

Pour déterminer une distance stellaire, les astronomes comparent des observations prises à différentes dates et mesurent la position apparente de l'étoile devant un fond plus lointain. Ils ajustent le déplacement périodique lié à l'orbite terrestre, puis convertissent l'angle obtenu en distance.

La parallaxe est privilégiée quand son angle dépasse suffisamment l'incertitude de mesure. Si le signal est trop petit pour l'instrument, une autre méthode de détermination des distances doit prendre le relais : agrandir simplement le résultat de l'inversion rendrait l'estimation trompeuse.

L'exemple historique de 61 Cygni montre l'intérêt de ce geste : en 1838, Bessel a transformé un minuscule déplacement angulaire mesuré en première détermination directe d'une distance stellaire.

La parallaxe annuelle ne se confond pas avec l'aberration de la lumière. Toutes deux produisent un déplacement apparent périodique, mais la parallaxe dépend de la distance de l'étoile : elle grandit pour les étoiles proches. L'aberration relève d'un autre mécanisme et ne sert pas à obtenir cette distance par inversion de l'angle.

Angle trop petit. Quand la parallaxe devient du même ordre que l'incertitude de mesure, la distance obtenue par inversion devient très fragile. Le symptôme est une valeur qui varie fortement pour une petite variation de l'angle. Il faut alors signaler l'incertitude ou employer une autre méthode de distance.

Cas charnière p = 0. La formule approchée demanderait de diviser par zéro : elle ne donne aucune distance finie. Ce cas exprime la limite de la méthode, car une parallaxe non distinguable de zéro indique seulement que l'étoile est hors de portée de cette mesure.

Schéma sans échelle. Un angle de 0,10″ est invisible sur une figure de page s'il est tracé à sa vraie taille. Le dessin l'agrandit donc volontairement ; il faut lire les libellés et les relations géométriques, pas mesurer l'angle sur l'écran.

Approximation des petits angles. Remplacer tan p par p suppose que l'angle est exprimé en radians et qu'il est très petit. Pour un angle plus grand, il faut reprendre la relation exacte $d=\frac{a}{\tan p}d=\backslash frac\{a\}\{\backslash tan\; p\}$.

L'aberration de la lumière permet d'étudier un autre déplacement apparent annuel et de préciser pourquoi une variation périodique n'est pas nécessairement une parallaxe.