AlgèbreNotion · Glossaire
Problèmes du millénaire
Les problèmes du millénaire sont sept problèmes mathématiques fondamentaux sélectionnés en 2000 par l'Institut Clay, chacun assorti d'un prix d'un million de dollars pour sa résolution. Ces problèmes sont : la conjecture de Poincaré (résolue par Perelman en 2003), P contre NP, la conjecture de Hodge, la conjecture de Riemann, les équations de Yang-Mills, les équations de Navier-Stokes, et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Ils représentent certains des défis mathématiques les plus profonds du XXIe siècle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Nommer les sept problèmes sélectionnés par l’Institut Clay en 2000.
- Distinguer le seul problème résolu des six autres.
- Vérifier le comptage des sept problèmes par catégories d’intitulés.
- Interpréter correctement la dotation d’un million de dollars par problème.
En clair
Imaginez une liste de sept énigmes mathématiques choisies en 2000 par l’Institut Clay. Chacune est assez importante pour être accompagnée d’un prix d’un million de dollars.
Cette liste traverse plusieurs territoires des mathématiques. Elle réunit quatre conjectures, la question P contre NP et deux problèmes portant le nom d’équations. Un seul des sept défis a été résolu : la conjecture de Poincaré, par Perelman en 2003.
Définition
Les problèmes du millénaire forment une sélection de sept problèmes mathématiques fondamentaux établie en 2000 par l’Institut Clay. Le nom désigne cette liste précise, et non l’ensemble des grandes questions encore étudiées en mathématiques. Chaque problème est assorti d’un prix d’un million de dollars pour sa résolution.
La sélection comprend quatre conjectures : celles de Poincaré, de Hodge, de Riemann, et de Birch et Swinnerton-Dyer. Elle comprend aussi P contre NP, les équations de Yang-Mills et les équations de Navier-Stokes. Ces intitulés appartiennent tous à la même sélection, même s’ils ne présentent pas leurs questions sous la même forme.
La conjecture de Poincaré constitue le cas particulier obligatoire à retenir : Perelman l’a résolue en 2003. Elle reste néanmoins l’un des sept problèmes historiquement sélectionnés. Les six autres noms complètent donc la liste, tandis que le statut « résolu » ne s’applique, dans la définition de référence, qu’à la conjecture de Poincaré.
Un exemple, pas à pas
Un lecteur veut contrôler deux affirmations : la liste contient bien sept problèmes et un seul est indiqué comme résolu.
Données. Quatre intitulés sont des conjectures : Poincaré, Hodge, Riemann, et Birch et Swinnerton-Dyer. Un autre intitulé est P contre NP. Les deux derniers portent sur les équations de Yang-Mills et de Navier-Stokes.
Étape 1. Regroupons les noms sans en perdre : quatre conjectures, une question P contre NP et deux ensembles d’équations. Une vue d’ensemble peut alors représenter les sept éléments par sept repères identiques.
Étape 2. Repérons ensuite le seul statut explicite de la source : la conjecture de Poincaré est résolue par Perelman en 2003. Il reste donc six problèmes non résolus dans cette liste.
Étape 3. Contrôlons enfin l’échelle des dotations annoncées. Sept problèmes à un million de dollars chacun représentent sept millions de dollars de dotations associées à la sélection : .
Le contrôle est refaisable : recompter les quatre conjectures, P contre NP et les deux intitulés d’équations donne sept, puis isoler Poincaré donne un résolu et six non résolus.
En pratique
Identifier un nom. Lorsqu’un article évoque un « problème du millénaire », comparez son intitulé aux sept noms de la sélection. Si le nom n’y figure pas, l’expression désigne probablement un grand problème au sens courant, pas cette liste précise.
Lire un statut. Une annonce de résolution doit être rattachée au bon problème. Dans la définition de référence, seul Poincaré porte la mention « résolue », avec Perelman et l’année 2003 ; les six autres intitulés ne portent pas cette mention.
Interpréter la dotation. Le million de dollars est associé à chacun des sept problèmes. Pour parler de la sélection entière, on conserve donc sept dotations distinctes plutôt que de présenter un prix unique partagé entre tous les problèmes.
À ne pas confondre
Un problème du millénaire et un problème mathématique très difficile. Le critère qui tranche est l’appartenance à la sélection de sept noms faite en 2000 par l’Institut Clay. La difficulté ou l’ancienneté d’une question ne suffit pas à l’y faire entrer.
Une conjecture et un problème du millénaire. « Conjecture » décrit la forme de quatre intitulés de la liste ; « problème du millénaire » indique l’appartenance à la sélection. La conjecture de Riemann possède ici les deux qualités, tandis que P contre NP appartient à la liste sans être intitulé « conjecture ».
Un prix unique et sept dotations. Le test consiste à regarder ce que quantifie « chacun ». La source associe un million de dollars à chacun des sept problèmes, et non un million de dollars à partager entre toute la liste.
Limites et pièges
Une liste de sept ne signifie pas sept problèmes encore ouverts. Le symptôme de l’erreur est de compter Poincaré parmi les problèmes non résolus. Il faut conserver sept noms historiques, puis distinguer un résolu en 2003 et six non résolus dans la définition de référence.
Sept millions ne signifie pas sept millions déjà attribués. Le calcul additionne les sept dotations d’un million associées aux problèmes. Il ne renseigne pas, à lui seul, sur leur versement ; il faut donc le présenter comme l’échelle totale des dotations annoncées.
L’année 2000 date la sélection, pas chaque problème. Une lecture fautive ferait de 2000 la date de naissance de toutes les questions. Il faut rattacher cette année au choix de l’Institut Clay et réserver 2003 à la résolution de la conjecture de Poincaré indiquée par la source.
Pour aller plus loin
P est-il égal à NP ? — Pour approfondir la question P contre NP, l’un des sept problèmes, dans un article qui lui est consacré.
NP — Pour préciser le vocabulaire porté par les deux lettres de la question P contre NP.
Yang-Mills (théorie de) — Pour situer l’un des deux intitulés d’équations présents dans la sélection.
Birch et Swinnerton-Dyer (conjecture de) — Pour isoler l’une des quatre conjectures de la liste et en poursuivre l’étude.
conjecture — Pour distinguer le type d’énoncé de son appartenance à la sélection des problèmes du millénaire.
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