suite de Behrend

Prenez une liste d'entiers supérieurs à 1 et regardez tous les nombres divisibles par au moins un terme de cette liste. Si les exceptions deviennent proportionnellement négligeables quand on observe des entiers de plus en plus grands, la liste est une suite de Behrend.

« Presque tout entier » ne signifie donc pas « tout entier ». Quelques valeurs peuvent échapper aux multiples de la suite, à condition que leur part tende vers zéro.

On considère une suite A formée d'entiers strictement supérieurs à 1. L'ensemble de ses multiples, noté M(A), réunit les entiers positifs qui admettent au moins un élément de A comme diviseur. Autrement dit, un entier n appartient à M(A) lorsqu'il existe un entier a de A qui divise n.

Pour un seuil entier positif N, on compte les éléments de M(A) compris entre 1 et N. La suite A est une suite de Behrend lorsque la proportion obtenue tend vers 1 quand N grandit :Cette limite est la densité naturelle de M(A). Elle autorise des exceptions, mais celles-ci doivent représenter une proportion qui tend vers zéro.

Les travaux de H. Davenport, P. Erdős, G. Tenenbaum, H. Maier, A. S. Besicovitch et F. A. Behrend ont porté sur ces notions au cours du 20^e siècle. Aucun critère simple et général ne décide aujourd'hui le statut de toute suite donnée.

La structure met en jeu quatre éléments. La suite A fournit des diviseurs entiers supérieurs à 1. L'ensemble M(A) rassemble tous leurs multiples. Le seuil N délimite la portion des entiers dans laquelle on mesure la couverture. La densité décrit le comportement de cette proportion lorsque N devient arbitrairement grand.

Modifier A modifie donc M(A), puis le nombre d'entiers couverts avant N. Le verdict dépend de la limite de ces proportions, et non d'un seul comptage fini. L'ordre d'énumération ne change pas la divisibilité : ce sont les valeurs présentes dans A qui déterminent M(A). Ces données suffisent à formuler le test de densité naturelle.

Considérons la suite A formée de tous les entiers à partir de 2. Cet exemple volontairement direct permet de vérifier la définition sans prétendre fournir un critère pour les suites plus délicates.

Données :
A contient 2, 3, 4, et ainsi de suite ;
le seuil observé est N = 20 ;
M(A) contient tout entier positif divisible par au moins un élément de A.

1. Pour chaque entier n compris entre 2 et 20, choisir l'élément a = n de la suite A.
2. Comme n divise n, chacun des 19 entiers de 2 à 20 appartient à M(A).
3. L'entier 1 n'a aucun diviseur supérieur à 1 ; il n'appartient pas à M(A).
4. La proportion couverte jusqu'à 20 vaut 19 ÷ 20 = 0,95, soit 95 %.

Pour un seuil quelconque N au moins égal à 2, le même raisonnement couvre N − 1 entiers sur N. La proportion vaut donc (N − 1) ÷ N et tend vers 1. Le contrôle se refait en constatant que seul 1 reste exclu : A est bien une suite de Behrend.

Pour explorer une suite donnée, on commence par construire les multiples de ses termes jusqu'à plusieurs seuils N. Le rapport entre les entiers couverts et N montre une tendance ; il ne fournit pas, à lui seul, une preuve portant sur l'infini.

Lorsque le comptage direct de M(A) devient encombrant, on peut plutôt étudier les entiers qui ne sont divisibles par aucun terme de A. Il suffit alors de démontrer que leur proportion tend vers zéro.

Si les proportions calculées paraissent proches de 1, le bon réflexe consiste à chercher encore une justification de leur limite. L'absence de critère simple et général interdit de transformer une longue observation numérique en verdict universel.

La densité naturelle de la suite A et celle de l'ensemble de ses multiples M(A) ne portent pas sur le même ensemble. Le critère de Behrend demande une densité naturelle égale à 1 pour M(A) : il faut donc compter les entiers divisibles par un terme de A, et non seulement les termes de A.

Une couverture de tous les entiers serait plus forte qu'une couverture de densité naturelle 1. Dans l'exemple A = 2, 3, 4, …, l'entier 1 reste exclu, mais sa part parmi les entiers jusqu'à N vaut 1 ÷ N et tend vers zéro.

Une fenêtre finie ne tranche pas. Une proportion élevée jusqu'à un grand seuil N peut ensuite évoluer autrement. Il faut établir le comportement lorsque N tend vers l'infini, plutôt que prolonger visuellement quelques valeurs.

Densité 1 ne signifie pas absence d'exception. Dans l'exemple A = 2, 3, 4, …, le seuil N = 20 donne 95 % et l'entier 1 n'est jamais couvert. Ce qui compte est que la proportion des exceptions, égale ici à 1 ÷ N, tende vers zéro.

La définition n'est pas un algorithme universel. Il n'existe pas de critère simple et général pour toute suite. Il faut donc démontrer le résultat avec les propriétés particulières de la suite examinée.

L'étude des suites de Behrend conduit à mesurer de façon asymptotique la présence des multiples de la suite parmi les entiers. Les travaux de Davenport, Erdős, Tenenbaum, Maier, Besicovitch et Behrend inscrivent cette question dans une histoire collective de la théorie des nombres au 20^e siècle.

Une piste de prolongement consiste à partir d'une suite précise, à décrire exactement M(A), puis à chercher une preuve de densité plutôt qu'une accumulation de tests finis. La difficulté signalée par la définition est justement l'absence d'une recette générale qui déciderait tous les cas.