théorème de Fürstenberg-Sarközy

Choisissez beaucoup de nombres parmi les premiers entiers et comparez-les deux à deux. Lorsque le choix occupe une proportion fixe de cette longue liste, il devient impossible d’éviter indéfiniment les écarts 1, 4, 9, 16, 25, qui sont des carrés parfaits.

Le théorème de Fürstenberg-Sarközy transforme cette intuition en garantie. La taille nécessaire de la liste dépend de la proportion choisie, mais la conclusion finit toujours par s’imposer.

Le théorème de Fürstenberg-Sarközy est un résultat de théorie additive des nombres sur les différences entre éléments d’un ensemble d’entiers. On fixe un réel strictement positif, noté ε, qui représente une proportion minimale. On considère ensuite un entier N et un sous-ensemble A des entiers de 1 à N.

Le résultat affirme qu’il existe un seuil entier N₀, dépendant de ε, tel que, dès que N est supérieur à ce seuil et que A possède au moins εN éléments, deux éléments distincts de A ont pour différence le carré d’un entier non nul. La différence est prise dans le sens du plus grand élément moins le plus petit, donc elle est positive.

La densité exigée est une proportion fixe, même très petite, et non un nombre fixe d’éléments. Démontré indépendamment par Hillel Fürstenberg en 1977 et par András Sárközy en 1978, le théorème appartient à l’étude de la structure additive des ensembles d’entiers denses.

Soit ε un réel strictement positif. Il existe un entier N₀ tel que, si N est un entier supérieur à N₀ et si A est inclus dans {1, 2, …, N} avec au moins εN éléments, alors il existe deux éléments x et y de A et un entier non nul k tels que :

On choisit x plus grand que y : leur différence positive est donc un carré parfait.

Le domaine est l’ensemble fini {1, 2, …, N}. Trois points doivent être vérifiés : ε reste strictement positif et ne dépend pas de N ; le sous-ensemble A contient au moins εN éléments ; enfin, N dépasse le seuil N₀ associé à cette valeur de ε. La conclusion garantit alors une paire distincte, sans indiquer laquelle.

Pour un petit ensemble, la garantie ne s’applique pas. Ainsi, dans A = {1, 3, 6}, les différences positives sont 2, 3 et 5 : aucune n’est un carré parfait. Il faut alors examiner directement toutes les paires, au lieu d’invoquer le théorème sans savoir si le seuil est franchi.

Considérons A = {2, 5, 11, 18, 27}, inclus dans {1, 2, …, 30}. Les données sont N = 30 et cinq éléments choisis. Cet exemple vérifie la conclusion sur une paire précise ; il ne prétend pas que 30 dépasse le seuil inconnu du théorème.

1. Prenons les éléments 11 et 2.
2. Leur différence vaut 11 − 2 = 9.
3. Or 9 = 3² : c’est un carré parfait.
4. La paire distincte (11, 2) satisfait donc la conclusion.

Un second contrôle donne 27 − 11 = 16 = 4². La représentation de ces cinq entiers sur une droite numérique rend visibles les deux écarts carrés 9 et 16.

Pour tester un ensemble fini donné, on calcule les différences positives entre ses paires. Dès qu’une différence vaut 1, 4, 9, 16 ou un autre carré, on possède un témoin explicite. Cette vérification directe est préférable lorsque N est petit ou que le seuil N₀ n’est pas connu.

Pour raisonner sur toute une famille d’ensembles de densité au moins ε, le théorème remplace cette recherche exhaustive par une garantie d’existence. Il convient lorsque la question porte sur des N suffisamment grands, et non sur une liste courte particulière.

Le théorème ne dit pas qu’un élément de A est lui-même un carré parfait. Dans A = {2, 5, 11, 18, 27}, aucun élément n’est un carré, mais 11 − 2 = 9 l’est : la propriété concerne une différence entre deux éléments.

Il ne faut pas non plus confondre densité et cardinal fixé. Choisir cinq entiers donne une densité de 5/30 dans {1, …, 30}, mais une densité de 5/300 dans {1, …, 300}. Le théorème exige une proportion minimale stable.

« Suffisamment grand » ne fournit pas une valeur universelle : le seuil N₀ dépend de ε. Sans valeur de seuil, le théorème seul ne certifie donc pas un cas numérique tel que N = 30 ; on recherche alors directement une paire.

La condition |A| ≥ εN doit rester proportionnelle à N. Si le nombre d’éléments choisis reste fixé pendant que N augmente, leur proportion tend vers zéro et l’hypothèse de densité fixe disparaît.

Les deux éléments doivent être distincts. Autoriser x = y donnerait toujours la différence 0, mais ce cas trivial n’est pas la conclusion recherchée : le carré garanti est celui d’un entier non nul.

La fiche Carré parfait précise la forme des différences que le théorème force à apparaître.

La théorie additive des nombres replace ce résultat dans l’étude des structures révélées par l’addition et la soustraction des entiers.