théorie additive des nombres

Prenons trois entiers : 0, 1 et 3. En additionnant deux nombres de cette collection, répétition autorisée, on obtient 0, 1, 2, 3, 4 ou 6. Certaines sommes reviennent plusieurs fois : 1 vaut 0 + 1 ou 1 + 0.

La théorie additive des nombres observe ce que cette liste de résultats révèle sur la collection de départ. Peu de résultats distincts signalent souvent une organisation additive ; elle cherche aussi des progressions et étudie quels entiers peuvent être représentés par des sommes.

La théorie additive des nombres, ou combinatoire additive, étudie les propriétés d'ensembles qui ne dépendent que des relations d'addition entre leurs éléments. Son cadre classique est celui des ensembles d'entiers. Le même langage s'applique plus généralement aux sous-ensembles d'un groupe abélien, c'est-à-dire un ensemble muni d'une addition associative, commutative, dotée d'un élément neutre et d'opposés.

Soient A et B deux sous-ensembles d'un même groupe abélien. Leur ensemble-somme, noté A + B, rassemble tous les résultats obtenus en choisissant un élément a de A et un élément b de B : Un résultat n'y figure qu'une fois, même si plusieurs couples produisent la même somme. Lorsque B est égal à A, on écrit A + A. La taille de cet ensemble-somme, comparée à celles de A et de B, renseigne sur les relations additives présentes.

Le domaine ne se réduit pas au calcul de A + B. Il examine aussi les progressions arithmétiques et la représentation d'entiers comme sommes d'éléments d'un ensemble donné. Son développement a été largement impulsé par les conjectures et les travaux de Paul Erdős (1913–1996). Le groupe ambiant et la convention sur les répétitions doivent toujours être précisés, car ils peuvent changer les sommes possibles.

Calculons l'ensemble-somme d'un ensemble avec lui-même. Les données sont l'ensemble A = {0, 1, 3}, l'addition ordinaire des entiers et le droit de reprendre le même élément deux fois. Il y a 3 × 3 = 9 couples ordonnés à examiner.

1. Avec 0 comme premier terme, les sommes sont 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 et 0 + 3 = 3.

2. Avec 1, elles valent 1, 2 et 4 ; avec 3, elles valent 3, 4 et 6. Le tableau d'addition rassemble ces neuf calculs et met en évidence les résultats répétés.

3. Réunissons les résultats sans doublon : $A+A=\{0,1,2,3,4,6\}A+A=\backslash \{0,1,2,3,4,6\backslash \}$. L'ensemble-somme contient donc 6 éléments distincts.

4. Contrôlons les multiplicités : 0, 2 et 6 proviennent chacun d'un seul couple, respectivement 0 + 0, 1 + 1 et 3 + 3. Les autres apparaissent deux fois : 1 = 0 + 1 = 1 + 0, 3 = 0 + 3 = 3 + 0 et 4 = 1 + 3 = 3 + 1. Les neuf couples sont ainsi retrouvés.

Pour une petite collection comme A = {0, 1, 3}, on dresse directement la table des sommes, puis on retire les doublons. Pour un ensemble trop grand pour cette énumération, on cherche plutôt une description de sa structure additive.

Pour savoir si une progression arithmétique se cache dans un ensemble, on recherche des termes séparés par un même écart. Si les écarts ne sont pas constants, il faut décrire une autre organisation au lieu de forcer cette lecture.

Dans un problème de représentation, le geste change : on fixe l'entier visé, puis on cherche des éléments autorisés dont la somme lui est égale. Si l'ordre ou les répétitions comptent, on l'annonce avant de compter les représentations.

Ensemble-somme et réunion d'ensembles. La réunion conserve les éléments déjà présents, tandis que l'ensemble-somme additionne un élément de chaque ensemble. Pour A = {0, 1, 3}, la réunion A ∪ A reste A, mais A + A vaut {0, 1, 2, 3, 4, 6}.

Ensemble-somme et somme des éléments. Additionner tous les éléments de A donne le nombre 4. Former A + A donne au contraire un ensemble de six résultats distincts. Le type du résultat, nombre ou ensemble, tranche immédiatement.

Progression arithmétique et liste quelconque. Une progression arithmétique exige un même écart entre termes successifs. La liste 0, 1, 3 n'en est pas une, car ses écarts valent 1 puis 2.

Les doublons ne sont pas des éléments nouveaux. Dans A + A, les couples (0, 1) et (1, 0) donnent tous deux 1. Le symptôme du piège est un total de neuf obtenu en comptant les cases du tableau. Il faut réunir les valeurs distinctes : il y en a six.

Le groupe ambiant change le calcul. Avec l'addition ordinaire, 3 + 3 vaut 6. Dans les entiers modulo 5, la même écriture vaut 1, car 6 et 1 y représentent la même classe. Il faut donc fixer le groupe avant de former l'ensemble-somme.

Ensemble et multiensemble ne comptent pas de la même façon. Un ensemble oublie combien de couples produisent 4 ; un comptage de représentations conserve cette multiplicité. Il faut choisir l'objet adapté à la question avant d'interpréter un effectif.

Les cas dégénérés restent cohérents. Si A est vide, A + A est vide. Si A contient un seul élément x, alors A + A contient seulement x + x. Ces cas ne justifient aucune conclusion générale sur une structure plus riche.

La conjecture de Goldbach prolonge la question des représentations additives en demandant quels entiers pairs sont sommes de deux nombres premiers.

L'article Quelques travaux d’Erdős en théorie des nombres replace ces questions parmi les recherches du mathématicien qui a fortement marqué le domaine.

L'article Cheminement combinatoire ouvre sur les raisonnements combinatoires qui étudient des collections finies et les relations entre leurs éléments.