Mesurer des aires sans calculs, en comptant simplement des points, c’est possible pour des polygones dont tous les sommets sont des intersections de lignes d’un plan quadrillé, avec une formule énoncée en 1899 par le mathématicien autrichien Georg Pick. Mais au lieu de compter des points, on peut aussi compter des arêtes du quadrillage.
Georg Pick (1859-1943).
La formule de Pick (voir Pick, un théorème inspirant. François Lavallou, Les polygones, Bibliothèque Tangente 92, POLE, 2025) permet de calculer l’aire d’un polygone dont tous les sommets sont à coordonnées entières en comptant simplement des points : d’une part les points à coordonnées entières situés sur le pourtour, et d’autre part ceux situés à l’intérieur du polygone.
Dans cette formule, A désigne l’aire du polygone, i le nombre de points intérieurs et b le nombre de points du pourtour. Cette formule est valable pour tout polygone sans trou. Une conséquence de cette formule est que l’aire d’un tel polygone est obligatoirement un nombre entier ou la moitié d’un nombre entier.
Dans l’exemple de cette figure,
on compte 20 points sur le pourtour (en rouge) et 16 points intérieurs (en bleu).
L’aire de cette cocotte vaut donc 16 + 20/2 – 1 = 25 cm2.
Une aire somme de longueurs ?
Dans ce qui suit, nous considérons des polygones entièrement décomposables en triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont l’un horizontal et l’autre vertical.
Dans ce poisson, soit I la somme des longueurs des arêtes horizontales intérieures au polygone (en rouge sur le dessin), et soit P la somme des longueurs des arêtes horizontales du pourtour (en vert sur le dessin). Nous avons : I = 13 et P = 3. L’aire A du poisson est égale à I + P/2, soit ici 13 + 3/2 = 14,5, l’unité d’aire étant l’aire d’un carré élémentaire du quadrillage. Les sommets du polygone étant des points à coordonnées entières, P est obligatoirement un nombre entier, et il en est de même pour I, même si certaines longueurs s’expriment par un nombre rationnel.
Notons enfin que si nous avons considéré les longueurs des arêtes horizontales, nous aurions pu considérer les arêtes verticales.
1. Calculez l’aire du poisson en considérant uniquement les arêtes verticales du dessin.
La formule que nous avons utilisée peut se justifier en considérant un triangle rectangle.
2. Montrez que
On en déduit la formule A = I + P/2 pour un polygone quelconque obtenu par recollement de triangles rectangles à coordonnées entières par des côtés horizontaux ou verticaux, certaines arêtes de pourtour présentes sur deux triangles accolés devenant alors des arêtes intérieures.
Compter toutes les arêtes, même coupées
Dans les années 1980, André Viricel (1913-2003), qui fut un rédacteur de la revue mythique Le Petit Archimède, proposa une formule où l’on compte simplement les arêtes, horizontales et verticales, y compris les arêtes coupées.
La formule de Viricel est la suivante :
où I' est le nombre total d’arêtes intérieures, P' le nombre total d’arêtes horizontales et verticales du pourtour et c le nombre d’arêtes coupées (obligatoirement intérieures).
Là encore, comme la formule est vraie pour un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont l’un horizontal et l’autre vertical, elle se généralise à un polygone quelconque par recollement de triangles.
