Tras el trabajo de los artistas de la infografía que tanto nos hacen soñar con sus creaciones virtuales hay muy a menudo… ¡matemáticas! El objetivo de la exposición «Bajo la superficie, las matemáticas» es revelar y dar a conocer algunas de las facetas matemáticas que se esconden tras las imágenes virtuales. En resumen: ¡bajo la superficie, las matemáticas! Imagine que desea representar en su pantalla un personaje de animación. Un personaje realista, con ropa que acompañe sus movimientos, puesto que quiere animarlo. ¿Cómo lo hará?
Una malla para empezar… ---------------------------
En primer lugar, dibujará un poliedro lo más parecido posible a su personaje. Es lo que se denomina una malla. Si quiere animar a su personaje y, sobre todo, calcular sus desplazamientos en tiempo real, le conviene no elegir una malla demasiado fina. En efecto, cuantos más puntos haya, mayores serán los tiempos de cálculo. Ahora bien, todo cuenta cuando hay que calcular una nueva imagen en unos pocos milisegundos… Por otra parte, cuanto más fina sea la malla, más preciso será su dibujo. Por tanto, deberá encontrar un equilibrio: por ejemplo, refinar la malla en las zonas de gran curvatura de la superficie y hacerla más basta en las zonas más planas. Así, entra en juego la geometría de la superficie de su personaje.
Pero aquí empiezan los problemas: no se puede mallar una superficie de cualquier manera. Piense en sus poliedros favoritos —el cubo, el tetraedro, el octaedro…—, cuente su número de vértices S, de aristas A y de caras F, y calcule S – A + F. Normalmente, habrá obtenido 2 en todos los casos. Cualquiera que sea la forma en que intente mallar una esfera, siempre obtendrá S – A + F = 2 (véase Tangente 174). Acaba de entrar en el universo de la topología de las superficies. Este mundo maravilloso —para el matemático— impone restricciones a la elección de la malla (véase nuestro dosier «Matemáticas y cine» en Tangente 178).
Un poco de textura para continuar ---------------------------------
A continuación habrá que aplicar —o pegar— una textura a su personaje: vestirlo con ropa, si se desea adherirla a él, darle un tono de piel… Para ello, se orientará sobre la superficie mediante coordenadas. Bastan dos, igual que la latitud y la longitud bastan para orientarse en la Tierra. Una vez elegidas estas coordenadas, puede hacer corresponder un punto de la superficie con un punto del plano. Siempre es posible establecer esta correspondencia sobre porciones de la superficie. Pero, del mismo modo que hay infinitas maneras de representar la Tierra en un plano, usted tiene donde elegir… ¡y todas esas representaciones introducirán deformaciones! Aun así, dibujará la textura en plano; trasladará —o, mejor dicho, su programa trasladará— los colores punto por punto: a un punto de su plano le corresponde un punto de la superficie con las mismas coordenadas. ¡Pintar teniendo en cuenta las deformaciones posteriores es todo un arte!
Recuperar la sensación de profundidad --------------------------
Tampoco hay que olvidar que la imagen que ha construido es intrínsecamente bidimensional: es una imagen sobre una pantalla plana. Para devolver la ilusión de profundidad, de tridimensionalidad, además de aplicar la textura hay que jugar con la iluminación. Para ello necesita una fuente de luz —o varias— y un punto de vista. La cantidad de luz que reciba el objeto dependerá de su orientación respecto de la fuente luminosa: de frente a ella, recibirá más que si está orientado oblicuamente. Esa luz recibida se refleja en el objeto. Este modo de reflexión depende del efecto que quiera producir y de la naturaleza del objeto que pretende representar. Por ejemplo, sobre una extensión de agua utilizará la reflexión especular: la luz se reflejará un poco como en un espejo y, si el observador no está en la dirección de esa reflexión —lo que depende de la posición de la fuente, de la orientación del objeto y de su propia posición—, no recibirá mucha luz; por tanto, no dará mucha luminosidad a esa zona de su objeto. Tomemos otro ejemplo clásico: un césped. Utilizará una reflexión difusa. La cantidad de luz recibida se reflejará por igual en todas las direcciones. El objeto le parecerá más mate, menos brillante.
Toda iluminación es una mezcla de estos dos tipos de reflexión, combinada con muchos otros efectos. Para su personaje, si quiere que tenga la piel mate, utilizará más bien una reflexión difusa; si desea que tenga la piel brillante, utilizará algo más de reflexión especular. ¿Cómo calcular esta luminosidad? Utilizando la geometría de la superficie, en particular las nociones del plano tangente y de la normal.
Los artistas de la infografía emplean muchas otras técnicas para lograr un realismo asombroso. Todas se basan en herramientas matemáticas, algunas de las cuales se remontan al 19.º siglo y otras son mucho más recientes. Por supuesto, las matemáticas no lo hacen todo: ¡también hacen falta un verdadero enfoque artístico y dominio de las herramientas informáticas para crear imágenes hermosas!
Para descubrir qué herramientas matemáticas se esconden tras la elaboración de la ropa virtual, tras esos paisajes realistas que desfilan ante nuestros ojos, vaya a ver la exposición «Bajo la superficie, las matemáticas». Allí le guiarán paso a paso hacia conceptos matemáticos mediante experimentos con modelos sencillos y la manipulación de superficies virtuales o reales. Seguro que le dará ganas de saber más y le llevará a plantearse preguntas, que es el más bello de los actos matemáticos.