Un día de 2025, Victor Gysembergh, director de investigación del Centro Léon Robin (CNRS/Sorbonne Université), especializado en pensamiento antiguo, bromea con un colega: «¿Y si buscáramos un palimpsesto en Blois?» La broma se convierte en una búsqueda en Arca, el catálogo en línea de manuscritos digitalizados. Y entonces, el asombro. Un folio griego. Figuras geométricas. Errores de copista que coinciden punto por punto con las fotografías tomadas en 1906 por el filólogo Johan Ludvig Heiberg. Victor Gysembergh ha recuperado una página del palimpsesto de Arquímedes perdida desde hacía más de un siglo, oculta en el Museo de Bellas Artes de Blois, a dos horas de París.
El hallazgo, publicado el 6 de marzo de 2026 en la revista Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik (vol. 236, págs. 23-26), es breve —cuatro páginas—, pero su objeto es inmenso. Se trata del folio número 123 de un manuscrito que los historiadores de las matemáticas consideran uno de los documentos más valiosos jamás recuperados.
Un pergamino reutilizado, un tesoro borrado
Para entender por qué este folio importa tanto, hay que remontarse al siglo X, en Constantinopla. Un copista bizantino transcribe varios tratados de Arquímedes de Siracusa —el mayor matemático de la Antigüedad— sobre un pergamino de piel animal. Dos siglos después, en el siglo XII, un monje necesita un soporte para un libro de oraciones. El pergamino es demasiado valioso para desperdiciarlo. Así que se raspa la escritura matemática, se giran los folios 90 grados y se vuelve a escribir encima. Eso es lo que se llama un palimpsesto, del griego palin (de nuevo) y psao (raspar).
El resultado es un libro de oraciones medieval que oculta, bajo sus líneas religiosas, las demostraciones geométricas de Arquímedes. El texto matemático no ha desaparecido por completo —la tinta antigua ha penetrado profundamente en el pergamino—, pero se ha vuelto casi invisible a simple vista.
En 1906, Heiberg consigue fotografiar el códice y transcribir buena parte de él. Después, el manuscrito pasa de mano en mano, permanece un tiempo en Jerusalén, reaparece en París y se subasta en 1998; lo adquiere un coleccionista privado, que lo confía al Walters Art Museum de Baltimore para su conservación y estudio. Tres folios visibles en las fotografías de 1906 habían desaparecido entretanto. Hasta ahora se los consideraba perdidos.
La cara oculta: una pintura del profeta Daniel
El folio de Blois se encuentra en un estado paradójico. Por una cara, el texto de oraciones medieval aún convive con figuras geométricas de Arquímedes y un pasaje legible del tratado Sobre la esfera y el cilindro, libro I, proposiciones 39 a 41, como confirma Sorbonne Université en su comunicado. Por la otra, en cambio, alguien añadió en el siglo XX una miniatura que representa al profeta Daniel flanqueado por dos leones. Según la agencia AFP, probablemente se añadió esta pintura para aumentar el valor comercial del documento. El resultado es que el texto matemático de Arquímedes queda completamente oculto por la cara de Daniel.
Ahí entran en escena las matemáticas modernas: ya no para demostrar teoremas sobre esferas, sino para leer lo que el ojo no puede ver.
Leer lo invisible: cuando los algoritmos hacen el trabajo de los ojos
Se contemplan dos técnicas para descifrar la cara oculta, siempre que se obtengan las autorizaciones necesarias. La primera, la imagen multiespectral, consiste en fotografiar el folio bajo muchas longitudes de onda distintas —ultravioleta, infrarroja y luz visible— y combinar después esas imágenes mediante cálculo. La idea, como describe un estudio de Roger L. Easton Jr. y sus colegas presentado en EUSIPCO, es que «las imágenes obtenidas a distintas longitudes de onda se combinan aritméticamente» para revelar contrastes invisibles con luz ordinaria.
La segunda técnica es aún más potente para las zonas cubiertas de pintura opaca: la fluorescencia de rayos X producida por un sincrotrón. Cada átomo del pergamino, excitado por un haz de rayos X, reemite energía a una longitud de onda característica. La tinta medieval de Arquímedes es rica en hierro; la pintura del siglo XX contiene otros elementos. Al cartografiar la distribución del hierro en toda la superficie del folio, pueden reaparecer los trazos de pluma de un copista del siglo X bajo una miniatura moderna. En las campañas anteriores realizadas sobre el palimpsesto, este método permitió recuperar una columna completa de texto en unas 24 horas de adquisición.
Durante las primeras campañas de imagen realizadas sobre el palimpsesto a comienzos de la década de 2000, y después en una nueva sesión de 2007 con una cámara de alta resolución e iluminación LED espectral, los investigadores lograron leer aproximadamente el 80 % del texto original. El folio de Blois relanza ese trabajo, con herramientas mucho más precisas que entonces.
Lo que Arquímedes quería demostrar, y por qué sigue siendo hermoso
Las proposiciones 39 a 41 del libro I de Sobre la esfera y el cilindro tratan de demostraciones geométricas complejas relacionadas con los volúmenes. Para captar lo que está en juego, este es el resultado central de todo el tratado: si se inscribe una esfera en un cilindro cuya base tiene el mismo radio y cuya altura es igual al diámetro de la esfera, el volumen del cilindro es exactamente una vez y media el de la esfera.
Pero ¿cómo demostraba Arquímedes esto sin cálculo integral ni notación algebraica? Mediante el método de agotamiento: se encuadra la figura desconocida —esfera, segmento esférico— entre figuras inscritas y circunscritas cuyos volúmenes se conocen, y después se estrecha la acotación hasta forzar la igualdad. Es una idea de límite, sin la palabra. Como observa Fernando Q. Gouvêa en su reseña para la Mathematical Association of America, la dificultad consiste en no proyectar el cálculo moderno sobre estas demostraciones: Arquímedes razona con figuras concretas, diagramas precisos y un lenguaje matemático propio. Lo que transmiten los manuscritos no son solo resultados, sino maneras de pensar.
Por eso importa cada folio recuperado. Como declaró Victor Gysembergh a la AFP, hasta este hallazgo, «no teníamos ningún motivo para esperar recuperarlos algún día». Y espera que el acontecimiento anime a otras instituciones y a coleccionistas privados a revisar sus colecciones: aún quedan dos folios desaparecidos por localizar.
Conceptos clave
El método de agotamiento: acotar el infinito con polígonos
Para los lectores que quieran entender cómo demostraba Arquímedes sus resultados sobre volúmenes sin disponer del cálculo integral, esta es la estructura de su razonamiento, tal como puede reconstruirse a partir de la edición completa de las obras de Arquímedes traducida por Thomas L. Heath, publicada por Cambridge University Press en 1897 y hoy de dominio público.
El método de exhaustión, formalizado antes de Arquímedes por Eudoxo de Cnido (siglo IV a. C.), se basa en un principio sencillo de enunciar y temible de manejar: para demostrar que dos magnitudes A y B son iguales, se muestra que ninguna puede ser mayor ni menor que la otra. Se procede por reducción al absurdo en ambos sentidos.
En concreto, para calcular el volumen de una esfera de radio r, Arquímedes inscribe en ella una pirámide de base poligonal y después circunscribe otra. Aumenta progresivamente el número de caras. Cuanto mayor es el número de caras, más estrechamente acotan las dos pirámides la esfera, por exceso y por defecto. Si se supone que el volumen de la esfera es estrictamente superior a (4/3)πr³, puede demostrarse que una pirámide inscrita basta para contradecir esta hipótesis. Si se supone que es estrictamente inferior, una pirámide circunscrita contradice la hipótesis inversa. Solo queda una posibilidad: la igualdad.
Este razonamiento es, por su estructura lógica, el antepasado directo de la noción de límite. Dice: cualquiera que sea la precisión ε > 0 que se exija, puedo encontrar una figura poligonal que aproxime la esfera a menos de ε. La diferencia con el cálculo integral moderno es que esta idea permanece encapsulada en un razonamiento por reducción al absurdo, sin nombrar nunca explícitamente el límite ni el paso al infinito.
El folio de Blois, con sus proposiciones 39 a 41, trata de resultados intermedios de ese mismo edificio: lemas geométricos sobre los segmentos esféricos que permiten alcanzar los resultados generales. Leer estas proposiciones en el manuscrito original es contemplar los cimientos de un razonamiento que esperó diecinueve siglos antes de formalizarse en cálculo diferencial e integral.
